Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23500 / 28484
↖ ↑ ↗
← N 22.897683°
W 50.910644°		 ← 562.66 m → N 22.897683°
W 50.905152°		 →
↑
562.69 m
↓
↑
562.69 m
↓
N 22.892623°
W 50.910644°		 ← 562.68 m →
316 606 m²		 N 22.892623°
W 50.905152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358589172363281 y=0.434638977050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358589172363281 × 216)
    floor (0.358589172363281 × 65536)
    floor (23500.5)     		tx = 23500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434638977050781 × 216)
    floor (0.434638977050781 × 65536)
    floor (28484.5)     		ty = 28484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23500 / 28484 ti = "16/23500/28484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23500/28484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23500 ÷ 216
    23500 ÷ 65536     		x = 0.35858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28484 ÷ 216
    28484 ÷ 65536     		y = 0.43463134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35858154296875 × 2 - 1) × π
    -0.2828369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88855837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43463134765625 × 2 - 1) × π
    0.1307373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.410723355944641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88855837} λ = -0.88855837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410723355944641))-π/2
    2×atan(1.50790814502683)-π/2
    2×0.985218144944259-π/2
    1.97043628988852-1.57079632675     		φ = 0.39963996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88855837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.910644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39963996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.897683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23500 KachelY 28484 -0.88855837 0.39963996 -50.910644 22.897683
    Oben rechts KachelX + 1 23501 KachelY 28484 -0.88846250 0.39963996 -50.905152 22.897683
    Unten links KachelX 23500 KachelY + 1 28485 -0.88855837 0.39955164 -50.910644 22.892623
    Unten rechts KachelX + 1 23501 KachelY + 1 28485 -0.88846250 0.39955164 -50.905152 22.892623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39963996-0.39955164) × R
    8.83200000000306e-05 × 6371000     		dl = 562.686720000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39963996-0.39955164) × R
    8.83200000000306e-05 × 6371000     		dr = 562.686720000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88855837--0.88846250) × cos(0.39963996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.921201140481805 × 6371000     		do = 562.658390316326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88855837--0.88846250) × cos(0.39955164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.921235501026073 × 6371000     		du = 562.679377316535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39963996)-sin(0.39955164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921201140481805-0.921235501026073)×R²
    abs(-0.88846250--0.88855837)×3.43605442679751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43605442679751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43605442679751e-05×40589641000000     		ar = 316606.308886732m²