Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 235 / 57
↖ ↑ ↗
← N 70.140365°
E150.468750°		 ← 53.121 km → N 70.140365°
E151.875000°		 →
↑
53.738 km
↓
↑
53.738 km
↓
N 69.657086°
E150.468750°		 ← 54.359 km →
2 887.91 km²		 N 69.657086°
E151.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919921875 y=0.224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919921875 × 28)
    floor (0.919921875 × 256)
    floor (235.5)     		tx = 235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224609375 × 28)
    floor (0.224609375 × 256)
    floor (57.5)     		ty = 57
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 235 / 57 ti = "8/235/57"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/235/57.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 235 ÷ 28
    235 ÷ 256     		x = 0.91796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57 ÷ 28
    57 ÷ 256     		y = 0.22265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91796875 × 2 - 1) × π
    0.8359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62617511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22265625 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62617511} λ = 2.62617511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74260217498828))-π/2
    2×atan(5.71218821322089)-π/2
    2×1.39748831093691-π/2
    2.79497662187382-1.57079632675     		φ = 1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62617511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 235 KachelY 57 2.62617511 1.22418030 150.468750 70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 236 KachelY 57 2.65071880 1.22418030 151.875000 70.140365
    Unten links KachelX 235 KachelY + 1 58 2.62617511 1.21574550 150.468750 69.657086
    Unten rechts KachelX + 1 236 KachelY + 1 58 2.65071880 1.21574550 151.875000 69.657086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22418030-1.21574550) × R
    0.00843480000000008 × 6371000     		dl = 53738.1108000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22418030-1.21574550) × R
    0.00843480000000008 × 6371000     		dr = 53738.1108000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62617511-2.65071880) × cos(1.22418030) × R
    0.0245436899999998 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 53120.8225169946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62617511-2.65071880) × cos(1.21574550) × R
    0.0245436899999998 × 0.347638022352561 × 6371000     		du = 54359.4097824069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22418030)-sin(1.21574550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.347638022352561)×R²
    abs(2.65071880-2.62617511)×0.00792098422669707×R²
    0.0245436899999998×0.00792098422669707×6371000²
    0.0245436899999998×0.00792098422669707×40589641000000     		ar = 2887909437.97569m²