Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23498 / 28104
↖ ↑ ↗
← N 24.806682°
W 50.921631°		 ← 554.43 m → N 24.806682°
W 50.916138°		 →
↑
554.47 m
↓
↑
554.47 m
↓
N 24.801695°
W 50.921631°		 ← 554.45 m →
307 420 m²		 N 24.801695°
W 50.916138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358558654785156 y=0.428840637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358558654785156 × 216)
    floor (0.358558654785156 × 65536)
    floor (23498.5)     		tx = 23498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428840637207031 × 216)
    floor (0.428840637207031 × 65536)
    floor (28104.5)     		ty = 28104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23498 / 28104 ti = "16/23498/28104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23498/28104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23498 ÷ 216
    23498 ÷ 65536     		x = 0.358551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28104 ÷ 216
    28104 ÷ 65536     		y = 0.4288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358551025390625 × 2 - 1) × π
    -0.28289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88875012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    0.142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.447155399655884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88875012} λ = -0.88875012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447155399655884))-π/2
    2×atan(1.56385730329134)-π/2
    2×1.00187729645055-π/2
    2.0037545929011-1.57079632675     		φ = 0.43295827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88875012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.921631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43295827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.806682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23498 KachelY 28104 -0.88875012 0.43295827 -50.921631 24.806682
    Oben rechts KachelX + 1 23499 KachelY 28104 -0.88865425 0.43295827 -50.916138 24.806682
    Unten links KachelX 23498 KachelY + 1 28105 -0.88875012 0.43287124 -50.921631 24.801695
    Unten rechts KachelX + 1 23499 KachelY + 1 28105 -0.88865425 0.43287124 -50.916138 24.801695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43295827-0.43287124) × R
    8.7029999999988e-05 × 6371000     		dl = 554.468129999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43295827-0.43287124) × R
    8.7029999999988e-05 × 6371000     		dr = 554.468129999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88875012--0.88865425) × cos(0.43295827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907728557743918 × 6371000     		do = 554.429501549712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88875012--0.88865425) × cos(0.43287124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907765068433768 × 6371000     		du = 554.451801832546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43295827)-sin(0.43287124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907728557743918-0.907765068433768)×R²
    abs(-0.88865425--0.88875012)×3.65106898493339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65106898493339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65106898493339e-05×40589641000000     		ar = 307419.671533024m²