Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 23494 / 13286
↖ ↑ ↗
← N 80.658633°
W115.471802°		 ← 49.57 m → N 80.658633°
W115.469055°		 →
↑
49.57 m
↓
↑
49.57 m
↓
N 80.658187°
W115.471802°		 ← 49.57 m →
2 457 m²		 N 80.658187°
W115.469055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179248809814453 y=0.101367950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179248809814453 × 217)
    floor (0.179248809814453 × 131072)
    floor (23494.5)     		tx = 23494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101367950439453 × 217)
    floor (0.101367950439453 × 131072)
    floor (13286.5)     		ty = 13286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23494 / 13286 ti = "17/23494/13286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23494/13286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23494 ÷ 217
    23494 ÷ 131072     		x = 0.179244995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13286 ÷ 217
    13286 ÷ 131072     		y = 0.101364135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179244995117188 × 2 - 1) × π
    -0.641510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01536313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101364135742188 × 2 - 1) × π
    0.797271728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50470300514793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01536313} λ = -2.01536313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50470300514793))-π/2
    2×atan(12.2399232317411)-π/2
    2×1.48927752198137-π/2
    2.97855504396273-1.57079632675     		φ = 1.40775872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01536313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.471802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40775872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.658633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23494 KachelY 13286 -2.01536313 1.40775872 -115.471802 80.658633
    Oben rechts KachelX + 1 23495 KachelY 13286 -2.01531520 1.40775872 -115.469055 80.658633
    Unten links KachelX 23494 KachelY + 1 13287 -2.01536313 1.40775094 -115.471802 80.658187
    Unten rechts KachelX + 1 23495 KachelY + 1 13287 -2.01531520 1.40775094 -115.469055 80.658187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40775872-1.40775094) × R
    7.78000000001278e-06 × 6371000     		dl = 49.5663800000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40775872-1.40775094) × R
    7.78000000001278e-06 × 6371000     		dr = 49.5663800000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01536313--2.01531520) × cos(1.40775872) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162316275288277 × 6371000     		do = 49.5652273240974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01536313--2.01531520) × cos(1.40775094) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1623239521111 × 6371000     		du = 49.5675715342986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40775872)-sin(1.40775094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162316275288277-0.1623239521111)×R²
    abs(-2.01531520--2.01536313)×7.6768228228774e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.6768228228774e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.6768228228774e-06×40589641000000     		ar = 2456.82698942786m²