Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23490 / 28097
↖ ↑ ↗
← N 24.841580°
W 50.965576°		 ← 554.27 m → N 24.841580°
W 50.960083°		 →
↑
554.28 m
↓
↑
554.28 m
↓
N 24.836596°
W 50.965576°		 ← 554.30 m →
307 227 m²		 N 24.836596°
W 50.960083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358436584472656 y=0.428733825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358436584472656 × 216)
    floor (0.358436584472656 × 65536)
    floor (23490.5)     		tx = 23490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428733825683594 × 216)
    floor (0.428733825683594 × 65536)
    floor (28097.5)     		ty = 28097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23490 / 28097 ti = "16/23490/28097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23490/28097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23490 ÷ 216
    23490 ÷ 65536     		x = 0.358428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28097 ÷ 216
    28097 ÷ 65536     		y = 0.428726196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.28314208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88951711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428726196289062 × 2 - 1) × π
    0.142547607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.447826516250565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88951711} λ = -0.88951711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447826516250565))-π/2
    2×atan(1.56490718613679)-π/2
    2×1.0021818494027-π/2
    2.00436369880539-1.57079632675     		φ = 0.43356737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88951711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.965576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43356737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.841580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23490 KachelY 28097 -0.88951711 0.43356737 -50.965576 24.841580
    Oben rechts KachelX + 1 23491 KachelY 28097 -0.88942124 0.43356737 -50.960083 24.841580
    Unten links KachelX 23490 KachelY + 1 28098 -0.88951711 0.43348037 -50.965576 24.836596
    Unten rechts KachelX + 1 23491 KachelY + 1 28098 -0.88942124 0.43348037 -50.960083 24.836596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43356737-0.43348037) × R
    8.70000000000037e-05 × 6371000     		dl = 554.277000000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43356737-0.43348037) × R
    8.70000000000037e-05 × 6371000     		dr = 554.277000000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88951711--0.88942124) × cos(0.43356737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90747283663323 × 6371000     		do = 554.273310222773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88951711--0.88942124) × cos(0.43348037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907509382834984 × 6371000     		du = 554.295632195844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43356737)-sin(0.43348037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90747283663323-0.907509382834984)×R²
    abs(-0.88942124--0.88951711)×3.6546201753862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6546201753862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6546201753862e-05×40589641000000     		ar = 307227.134042263m²