Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2349 / 1747
↖ ↑ ↗
← N 25.562265°
E 26.455078°		 ← 8 816.38 m → N 25.562265°
E 26.542969°		 →
↑
8 819.31 m
↓
↑
8 819.31 m
↓
N 25.482951°
E 26.455078°		 ← 8 822.21 m →
77 780 087 m²		 N 25.482951°
E 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5736083984375 y=0.4266357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5736083984375 × 212)
    floor (0.5736083984375 × 4096)
    floor (2349.5)     		tx = 2349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4266357421875 × 212)
    floor (0.4266357421875 × 4096)
    floor (1747.5)     		ty = 1747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2349 / 1747 ti = "12/2349/1747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2349/1747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2349 ÷ 212
    2349 ÷ 4096     		x = 0.573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1747 ÷ 212
    1747 ÷ 4096     		y = 0.426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573486328125 × 2 - 1) × π
    0.14697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46172822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426513671875 × 2 - 1) × π
    0.14697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.461728217140381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46172822} λ = 0.46172822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.461728217140381))-π/2
    2×atan(1.58681397577453)-π/2
    2×1.00847100777605-π/2
    2.01694201555211-1.57079632675     		φ = 0.44614569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46172822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44614569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.562265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2349 KachelY 1747 0.46172822 0.44614569 26.455078 25.562265
    Oben rechts KachelX + 1 2350 KachelY 1747 0.46326220 0.44614569 26.542969 25.562265
    Unten links KachelX 2349 KachelY + 1 1748 0.46172822 0.44476140 26.455078 25.482951
    Unten rechts KachelX + 1 2350 KachelY + 1 1748 0.46326220 0.44476140 26.542969 25.482951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44614569-0.44476140) × R
    0.00138429000000001 × 6371000     		dl = 8819.31159000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44614569-0.44476140) × R
    0.00138429000000001 × 6371000     		dr = 8819.31159000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46172822-0.46326220) × cos(0.44614569) × R
    0.00153397999999999 × 0.902116901829309 × 6371000     		do = 8816.37637516896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46172822-0.46326220) × cos(0.44476140) × R
    0.00153397999999999 × 0.902713346952603 × 6371000     		du = 8822.20542535462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44614569)-sin(0.44476140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902116901829309-0.902713346952603)×R²
    abs(0.46326220-0.46172822)×0.000596445123294376×R²
    0.00153397999999999×0.000596445123294376×6371000²
    0.00153397999999999×0.000596445123294376×40589641000000     		ar = 77780086.8728258m²