Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2349 / 1745
↖ ↑ ↗
← N 25.720735°
E 26.455078°		 ← 8 804.68 m → N 25.720735°
E 26.542969°		 →
↑
8 807.59 m
↓
↑
8 807.59 m
↓
N 25.641526°
E 26.455078°		 ← 8 810.53 m →
77 573 793 m²		 N 25.641526°
E 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5736083984375 y=0.4261474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5736083984375 × 212)
    floor (0.5736083984375 × 4096)
    floor (2349.5)     		tx = 2349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4261474609375 × 212)
    floor (0.4261474609375 × 4096)
    floor (1745.5)     		ty = 1745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2349 / 1745 ti = "12/2349/1745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2349/1745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2349 ÷ 212
    2349 ÷ 4096     		x = 0.573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1745 ÷ 212
    1745 ÷ 4096     		y = 0.426025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573486328125 × 2 - 1) × π
    0.14697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46172822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426025390625 × 2 - 1) × π
    0.14794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.464796178716064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46172822} λ = 0.46172822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464796178716064))-π/2
    2×atan(1.59168973557745)-π/2
    2×1.0098539204559-π/2
    2.01970784091181-1.57079632675     		φ = 0.44891151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46172822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44891151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.720735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2349 KachelY 1745 0.46172822 0.44891151 26.455078 25.720735
    Oben rechts KachelX + 1 2350 KachelY 1745 0.46326220 0.44891151 26.542969 25.720735
    Unten links KachelX 2349 KachelY + 1 1746 0.46172822 0.44752906 26.455078 25.641526
    Unten rechts KachelX + 1 2350 KachelY + 1 1746 0.46326220 0.44752906 26.542969 25.641526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44891151-0.44752906) × R
    0.00138245000000004 × 6371000     		dl = 8807.58895000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44891151-0.44752906) × R
    0.00138245000000004 × 6371000     		dr = 8807.58895000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46172822-0.46326220) × cos(0.44891151) × R
    0.00153397999999999 × 0.90092002446388 × 6371000     		do = 8804.67930873872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46172822-0.46326220) × cos(0.44752906) × R
    0.00153397999999999 × 0.901519126137334 × 6371000     		du = 8810.53432135343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44891151)-sin(0.44752906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90092002446388-0.901519126137334)×R²
    abs(0.46326220-0.46172822)×0.000599101673453672×R²
    0.00153397999999999×0.000599101673453672×6371000²
    0.00153397999999999×0.000599101673453672×40589641000000     		ar = 77573792.8148606m²