Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23489 / 28105
↖ ↑ ↗
← N 24.801695°
W 50.971069°		 ← 554.45 m → N 24.801695°
W 50.965576°		 →
↑
554.53 m
↓
↑
554.53 m
↓
N 24.796708°
W 50.971069°		 ← 554.47 m →
307 467 m²		 N 24.796708°
W 50.965576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358421325683594 y=0.428855895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358421325683594 × 216)
    floor (0.358421325683594 × 65536)
    floor (23489.5)     		tx = 23489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428855895996094 × 216)
    floor (0.428855895996094 × 65536)
    floor (28105.5)     		ty = 28105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23489 / 28105 ti = "16/23489/28105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23489/28105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23489 ÷ 216
    23489 ÷ 65536     		x = 0.358413696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28105 ÷ 216
    28105 ÷ 65536     		y = 0.428848266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358413696289062 × 2 - 1) × π
    -0.283172607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88961298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428848266601562 × 2 - 1) × π
    0.142303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.447059525856644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88961298} λ = -0.88961298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447059525856644))-π/2
    2×atan(1.5637073775373)-π/2
    2×1.0018337818826-π/2
    2.0036675637652-1.57079632675     		φ = 0.43287124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88961298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.971069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43287124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.801695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23489 KachelY 28105 -0.88961298 0.43287124 -50.971069 24.801695
    Oben rechts KachelX + 1 23490 KachelY 28105 -0.88951711 0.43287124 -50.965576 24.801695
    Unten links KachelX 23489 KachelY + 1 28106 -0.88961298 0.43278420 -50.971069 24.796708
    Unten rechts KachelX + 1 23490 KachelY + 1 28106 -0.88951711 0.43278420 -50.965576 24.796708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43287124-0.43278420) × R
    8.70399999999827e-05 × 6371000     		dl = 554.53183999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43287124-0.43278420) × R
    8.70399999999827e-05 × 6371000     		dr = 554.53183999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88961298--0.88951711) × cos(0.43287124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907765068433768 × 6371000     		do = 554.451801832546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88961298--0.88951711) × cos(0.43278420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907801576442003 × 6371000     		du = 554.474100477484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43287124)-sin(0.43278420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907765068433768-0.907801576442003)×R²
    abs(-0.88951711--0.88961298)×3.6508008235514e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6508008235514e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6508008235514e-05×40589641000000     		ar = 307467.36070992m²