Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23480 / 9271
↖ ↑ ↗
← N 82.288649°
W115.510254°		 ← 40.98 m → N 82.288649°
W115.507507°		 →
↑
40.97 m
↓
↑
40.97 m
↓
N 82.288280°
W115.510254°		 ← 40.98 m →
1 679 m²		 N 82.288280°
W115.507507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179141998291016 y=0.0707359313964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179141998291016 × 217)
    floor (0.179141998291016 × 131072)
    floor (23480.5)     		tx = 23480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0707359313964844 × 217)
    floor (0.0707359313964844 × 131072)
    floor (9271.5)     		ty = 9271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23480 / 9271 ti = "17/23480/9271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23480/9271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23480 ÷ 217
    23480 ÷ 131072     		x = 0.17913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9271 ÷ 217
    9271 ÷ 131072     		y = 0.0707321166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.6417236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.01603425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0707321166992188 × 2 - 1) × π
    0.858535766601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.69716965712246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01603425} λ = -2.01603425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69716965712246))-π/2
    2×atan(14.8376765255573)-π/2
    2×1.50350209526005-π/2
    3.00700419052011-1.57079632675     		φ = 1.43620786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01603425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43620786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.288649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23480 KachelY 9271 -2.01603425 1.43620786 -115.510254 82.288649
    Oben rechts KachelX + 1 23481 KachelY 9271 -2.01598631 1.43620786 -115.507507 82.288649
    Unten links KachelX 23480 KachelY + 1 9272 -2.01603425 1.43620143 -115.510254 82.288280
    Unten rechts KachelX + 1 23481 KachelY + 1 9272 -2.01598631 1.43620143 -115.507507 82.288280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43620786-1.43620143) × R
    6.43000000000171e-06 × 6371000     		dl = 40.9655300000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43620786-1.43620143) × R
    6.43000000000171e-06 × 6371000     		dr = 40.9655300000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01603425--2.01598631) × cos(1.43620786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134182510821008 × 6371000     		do = 40.9827926625375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01603425--2.01598631) × cos(1.43620143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134188882669402 × 6371000     		du = 40.9847387890483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43620786)-sin(1.43620143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134182510821008-0.134188882669402)×R²
    abs(-2.01598631--2.01603425)×6.3718483934716e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.3718483934716e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.3718483934716e-06×40589641000000     		ar = 1678.92168443037m²