Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23473 / 33905
↖ ↑ ↗
← N 65.237156°
W115.529480°		 ← 127.93 m → N 65.237156°
W115.526733°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
N 65.236006°
W115.529480°		 ← 127.94 m →
16 367 m²		 N 65.236006°
W115.526733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179088592529297 y=0.258678436279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179088592529297 × 217)
    floor (0.179088592529297 × 131072)
    floor (23473.5)     		tx = 23473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258678436279297 × 217)
    floor (0.258678436279297 × 131072)
    floor (33905.5)     		ty = 33905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23473 / 33905 ti = "17/23473/33905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23473/33905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23473 ÷ 217
    23473 ÷ 131072     		x = 0.179084777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33905 ÷ 217
    33905 ÷ 131072     		y = 0.258674621582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179084777832031 × 2 - 1) × π
    -0.641830444335938 × 3.1415926535     		Λ = -2.01636981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258674621582031 × 2 - 1) × π
    0.482650756835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.516292071882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01636981} λ = -2.01636981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.516292071882))-π/2
    2×atan(4.55530310511406)-π/2
    2×1.35469974861451-π/2
    2.70939949722903-1.57079632675     		φ = 1.13860317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01636981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.529480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13860317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.237156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23473 KachelY 33905 -2.01636981 1.13860317 -115.529480 65.237156
    Oben rechts KachelX + 1 23474 KachelY 33905 -2.01632187 1.13860317 -115.526733 65.237156
    Unten links KachelX 23473 KachelY + 1 33906 -2.01636981 1.13858309 -115.529480 65.236006
    Unten rechts KachelX + 1 23474 KachelY + 1 33906 -2.01632187 1.13858309 -115.526733 65.236006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13860317-1.13858309) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dl = 127.929680000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13860317-1.13858309) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dr = 127.929680000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01636981--2.01632187) × cos(1.13860317) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418863302680644 × 6371000     		do = 127.931634179996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01636981--2.01632187) × cos(1.13858309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41888153622617 × 6371000     		du = 127.937203174131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13860317)-sin(1.13858309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418863302680644-0.41888153622617)×R²
    abs(-2.01632187--2.01636981)×1.82335455256033e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82335455256033e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82335455256033e-05×40589641000000     		ar = 16366.6092429493m²