Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23460 / 11363
↖ ↑ ↗
← N 81.478072°
W115.565186°		 ← 45.26 m → N 81.478072°
W115.562439°		 →
↑
45.23 m
↓
↑
45.23 m
↓
N 81.477666°
W115.565186°		 ← 45.26 m →
2 047 m²		 N 81.477666°
W115.562439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.178989410400391 y=0.0866966247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.178989410400391 × 217)
    floor (0.178989410400391 × 131072)
    floor (23460.5)     		tx = 23460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0866966247558594 × 217)
    floor (0.0866966247558594 × 131072)
    floor (11363.5)     		ty = 11363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23460 / 11363 ti = "17/23460/11363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23460/11363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23460 ÷ 217
    23460 ÷ 131072     		x = 0.178985595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11363 ÷ 217
    11363 ÷ 131072     		y = 0.0866928100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.178985595703125 × 2 - 1) × π
    -0.64202880859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.01699299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0866928100585938 × 2 - 1) × π
    0.826614379882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.5968856631173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01699299} λ = -2.01699299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5968856631173))-π/2
    2×atan(13.4218726443634)-π/2
    2×1.49642847808023-π/2
    2.99285695616045-1.57079632675     		φ = 1.42206063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01699299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.565186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42206063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.478072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23460 KachelY 11363 -2.01699299 1.42206063 -115.565186 81.478072
    Oben rechts KachelX + 1 23461 KachelY 11363 -2.01694505 1.42206063 -115.562439 81.478072
    Unten links KachelX 23460 KachelY + 1 11364 -2.01699299 1.42205353 -115.565186 81.477666
    Unten rechts KachelX + 1 23461 KachelY + 1 11364 -2.01694505 1.42205353 -115.562439 81.477666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42206063-1.42205353) × R
    7.10000000014865e-06 × 6371000     		dl = 45.2341000009471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42206063-1.42205353) × R
    7.10000000014865e-06 × 6371000     		dr = 45.2341000009471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01699299--2.01694505) × cos(1.42206063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148187906928076 × 6371000     		do = 45.260401132529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01699299--2.01694505) × cos(1.42205353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148194928534822 × 6371000     		du = 45.2625457119656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42206063)-sin(1.42205353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148187906928076-0.148194928534822)×R²
    abs(-2.01694505--2.01699299)×7.02160674645458e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.02160674645458e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.02160674645458e-06×40589641000000     		ar = 2047.36201488974m²