Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2346 / 1755
↖ ↑ ↗
← N 24.926295°
E 26.191406°		 ← 8 862.70 m → N 24.926295°
E 26.279297°		 →
↑
8 865.50 m
↓
↑
8 865.50 m
↓
N 24.846565°
E 26.191406°		 ← 8 868.42 m →
78 597 637 m²		 N 24.846565°
E 26.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5728759765625 y=0.4285888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5728759765625 × 212)
    floor (0.5728759765625 × 4096)
    floor (2346.5)     		tx = 2346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4285888671875 × 212)
    floor (0.4285888671875 × 4096)
    floor (1755.5)     		ty = 1755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2346 / 1755 ti = "12/2346/1755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2346/1755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2346 ÷ 212
    2346 ÷ 4096     		x = 0.57275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1755 ÷ 212
    1755 ÷ 4096     		y = 0.428466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57275390625 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    0.14306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449456370837647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45712627} λ = 0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449456370837647))-π/2
    2×atan(1.56745983695221)-π/2
    2×1.00292112038974-π/2
    2.00584224077948-1.57079632675     		φ = 0.43504591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43504591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.926295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2346 KachelY 1755 0.45712627 0.43504591 26.191406 24.926295
    Oben rechts KachelX + 1 2347 KachelY 1755 0.45866026 0.43504591 26.279297 24.926295
    Unten links KachelX 2346 KachelY + 1 1756 0.45712627 0.43365437 26.191406 24.846565
    Unten rechts KachelX + 1 2347 KachelY + 1 1756 0.45866026 0.43365437 26.279297 24.846565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43504591-0.43365437) × R
    0.00139153999999997 × 6371000     		dl = 8865.5013399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43504591-0.43365437) × R
    0.00139153999999997 × 6371000     		dr = 8865.5013399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45712627-0.45866026) × cos(0.43504591) × R
    0.00153398999999999 × 0.906850694392099 × 6371000     		do = 8862.69744181532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45712627-0.45866026) × cos(0.43365437) × R
    0.00153398999999999 × 0.907436283562814 × 6371000     		du = 8868.42043423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43504591)-sin(0.43365437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906850694392099-0.907436283562814)×R²
    abs(0.45866026-0.45712627)×0.000585589170715162×R²
    0.00153398999999999×0.000585589170715162×6371000²
    0.00153398999999999×0.000585589170715162×40589641000000     		ar = 78597637.327819m²