Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2346 / 1719
↖ ↑ ↗
← N 27.761330°
E 26.191406°		 ← 8 648.13 m → N 27.761330°
E 26.279297°		 →
↑
8 651.18 m
↓
↑
8 651.18 m
↓
N 27.683528°
E 26.191406°		 ← 8 654.30 m →
74 843 241 m²		 N 27.683528°
E 26.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5728759765625 y=0.4197998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5728759765625 × 212)
    floor (0.5728759765625 × 4096)
    floor (2346.5)     		tx = 2346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4197998046875 × 212)
    floor (0.4197998046875 × 4096)
    floor (1719.5)     		ty = 1719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2346 / 1719 ti = "12/2346/1719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2346/1719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2346 ÷ 212
    2346 ÷ 4096     		x = 0.57275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1719 ÷ 212
    1719 ÷ 4096     		y = 0.419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57275390625 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419677734375 × 2 - 1) × π
    0.16064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.504679679199951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45712627} λ = 0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504679679199951))-π/2
    2×atan(1.65645483853204)-π/2
    2×1.02766146891226-π/2
    2.05532293782451-1.57079632675     		φ = 0.48452661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48452661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.761330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2346 KachelY 1719 0.45712627 0.48452661 26.191406 27.761330
    Oben rechts KachelX + 1 2347 KachelY 1719 0.45866026 0.48452661 26.279297 27.761330
    Unten links KachelX 2346 KachelY + 1 1720 0.45712627 0.48316871 26.191406 27.683528
    Unten rechts KachelX + 1 2347 KachelY + 1 1720 0.45866026 0.48316871 26.279297 27.683528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48452661-0.48316871) × R
    0.00135790000000002 × 6371000     		dl = 8651.18090000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48452661-0.48316871) × R
    0.00135790000000002 × 6371000     		dr = 8651.18090000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45712627-0.45866026) × cos(0.48452661) × R
    0.00153398999999999 × 0.884895548348582 × 6371000     		do = 8648.12869540774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45712627-0.45866026) × cos(0.48316871) × R
    0.00153398999999999 × 0.885527227905161 × 6371000     		du = 8654.30213148135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48452661)-sin(0.48316871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884895548348582-0.885527227905161)×R²
    abs(0.45866026-0.45712627)×0.000631679556578835×R²
    0.00153398999999999×0.000631679556578835×6371000²
    0.00153398999999999×0.000631679556578835×40589641000000     		ar = 74843241.0468173m²