Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23459 / 11362
↖ ↑ ↗
← N 81.478479°
W115.567932°		 ← 45.26 m → N 81.478479°
W115.565186°		 →
↑
45.23 m
↓
↑
45.23 m
↓
N 81.478072°
W115.567932°		 ← 45.26 m →
2 047 m²		 N 81.478072°
W115.565186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.178981781005859 y=0.0866889953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.178981781005859 × 217)
    floor (0.178981781005859 × 131072)
    floor (23459.5)     		tx = 23459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0866889953613281 × 217)
    floor (0.0866889953613281 × 131072)
    floor (11362.5)     		ty = 11362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23459 / 11362 ti = "17/23459/11362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23459/11362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23459 ÷ 217
    23459 ÷ 131072     		x = 0.178977966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11362 ÷ 217
    11362 ÷ 131072     		y = 0.0866851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.178977966308594 × 2 - 1) × π
    -0.642044067382812 × 3.1415926535     		Λ = -2.01704093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0866851806640625 × 2 - 1) × π
    0.826629638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.59693360001692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01704093} λ = -2.01704093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59693360001692))-π/2
    2×atan(13.4225160627467)-π/2
    2×1.49643202983046-π/2
    2.99286405966092-1.57079632675     		φ = 1.42206773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01704093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.567932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42206773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.478479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23459 KachelY 11362 -2.01704093 1.42206773 -115.567932 81.478479
    Oben rechts KachelX + 1 23460 KachelY 11362 -2.01699299 1.42206773 -115.565186 81.478479
    Unten links KachelX 23459 KachelY + 1 11363 -2.01704093 1.42206063 -115.567932 81.478072
    Unten rechts KachelX + 1 23460 KachelY + 1 11363 -2.01699299 1.42206063 -115.565186 81.478072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42206773-1.42206063) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dl = 45.2340999995324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42206773-1.42206063) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dr = 45.2340999995324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01704093--2.01699299) × cos(1.42206773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14818088531386 × 6371000     		do = 45.258256550811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01704093--2.01699299) × cos(1.42206063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148187906928076 × 6371000     		du = 45.260401132529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42206773)-sin(1.42206063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14818088531386-0.148187906928076)×R²
    abs(-2.01699299--2.01704093)×7.02161421639591e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.02161421639591e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.02161421639591e-06×40589641000000     		ar = 2047.26500667799m²