Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23458 / 28013
↖ ↑ ↗
← N 25.259601°
W 51.141357°		 ← 552.39 m → N 25.259601°
W 51.135864°		 →
↑
552.43 m
↓
↑
552.43 m
↓
N 25.254633°
W 51.141357°		 ← 552.41 m →
305 161 m²		 N 25.254633°
W 51.135864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357948303222656 y=0.427452087402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357948303222656 × 216)
    floor (0.357948303222656 × 65536)
    floor (23458.5)     		tx = 23458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427452087402344 × 216)
    floor (0.427452087402344 × 65536)
    floor (28013.5)     		ty = 28013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23458 / 28013 ti = "16/23458/28013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23458/28013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23458 ÷ 216
    23458 ÷ 65536     		x = 0.357940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28013 ÷ 216
    28013 ÷ 65536     		y = 0.427444458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357940673828125 × 2 - 1) × π
    -0.28411865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.89258507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427444458007812 × 2 - 1) × π
    0.145111083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.455879915386734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89258507} λ = -0.89258507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455879915386734))-π/2
    2×atan(1.57756089260187)-π/2
    2×1.00582976292495-π/2
    2.0116595258499-1.57079632675     		φ = 0.44086320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89258507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.141357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44086320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.259601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23458 KachelY 28013 -0.89258507 0.44086320 -51.141357 25.259601
    Oben rechts KachelX + 1 23459 KachelY 28013 -0.89248920 0.44086320 -51.135864 25.259601
    Unten links KachelX 23458 KachelY + 1 28014 -0.89258507 0.44077649 -51.141357 25.254633
    Unten rechts KachelX + 1 23459 KachelY + 1 28014 -0.89248920 0.44077649 -51.135864 25.254633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44086320-0.44077649) × R
    8.67099999999899e-05 × 6371000     		dl = 552.429409999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44086320-0.44077649) × R
    8.67099999999899e-05 × 6371000     		dr = 552.429409999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89258507--0.89248920) × cos(0.44086320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904383655247725 × 6371000     		do = 552.386476013195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89258507--0.89248920) × cos(0.44077649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904420652763984 × 6371000     		du = 552.409073643646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44086320)-sin(0.44077649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904383655247725-0.904420652763984)×R²
    abs(-0.89248920--0.89258507)×3.699751625863e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.699751625863e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.699751625863e-05×40589641000000     		ar = 305160.777024749m²