Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23456 / 11360
↖ ↑ ↗
← N 81.479293°
W115.576172°		 ← 45.25 m → N 81.479293°
W115.573425°		 →
↑
45.23 m
↓
↑
45.23 m
↓
N 81.478886°
W115.576172°		 ← 45.26 m →
2 047 m²		 N 81.478886°
W115.573425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.178958892822266 y=0.0866737365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.178958892822266 × 217)
    floor (0.178958892822266 × 131072)
    floor (23456.5)     		tx = 23456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0866737365722656 × 217)
    floor (0.0866737365722656 × 131072)
    floor (11360.5)     		ty = 11360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23456 / 11360 ti = "17/23456/11360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23456/11360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23456 ÷ 217
    23456 ÷ 131072     		x = 0.178955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11360 ÷ 217
    11360 ÷ 131072     		y = 0.086669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.178955078125 × 2 - 1) × π
    -0.64208984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.01718474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086669921875 × 2 - 1) × π
    0.82666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59702947381616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01718474} λ = -2.01718474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59702947381616))-π/2
    2×atan(13.4238029920474)-π/2
    2×1.49643913282581-π/2
    2.99287826565161-1.57079632675     		φ = 1.42208194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01718474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42208194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.479293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23456 KachelY 11360 -2.01718474 1.42208194 -115.576172 81.479293
    Oben rechts KachelX + 1 23457 KachelY 11360 -2.01713680 1.42208194 -115.573425 81.479293
    Unten links KachelX 23456 KachelY + 1 11361 -2.01718474 1.42207484 -115.576172 81.478886
    Unten rechts KachelX + 1 23457 KachelY + 1 11361 -2.01713680 1.42207484 -115.573425 81.478886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42208194-1.42207484) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dl = 45.2340999995324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42208194-1.42207484) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dr = 45.2340999995324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01718474--2.01713680) × cos(1.42208194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148166832173394 × 6371000     		do = 45.2539643599849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01718474--2.01713680) × cos(1.42207484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14817385380256 × 6371000     		du = 45.256108946269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42208194)-sin(1.42207484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148166832173394-0.14817385380256)×R²
    abs(-2.01713680--2.01718474)×7.02162916615956e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.02162916615956e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.02162916615956e-06×40589641000000     		ar = 2047.07085350453m²