Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23453 / 28017
↖ ↑ ↗
← N 25.239727°
W 51.168823°		 ← 552.48 m → N 25.239727°
W 51.163330°		 →
↑
552.49 m
↓
↑
552.49 m
↓
N 25.234758°
W 51.168823°		 ← 552.50 m →
305 246 m²		 N 25.234758°
W 51.163330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357872009277344 y=0.427513122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357872009277344 × 216)
    floor (0.357872009277344 × 65536)
    floor (23453.5)     		tx = 23453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427513122558594 × 216)
    floor (0.427513122558594 × 65536)
    floor (28017.5)     		ty = 28017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23453 / 28017 ti = "16/23453/28017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23453/28017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23453 ÷ 216
    23453 ÷ 65536     		x = 0.357864379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28017 ÷ 216
    28017 ÷ 65536     		y = 0.427505493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357864379882812 × 2 - 1) × π
    -0.284271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.89306444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427505493164062 × 2 - 1) × π
    0.144989013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.455496420189774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89306444} λ = -0.89306444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455496420189774))-π/2
    2×atan(1.57695602156662)-π/2
    2×1.00565633534444-π/2
    2.01131267068889-1.57079632675     		φ = 0.44051634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89306444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.168823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44051634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.239727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23453 KachelY 28017 -0.89306444 0.44051634 -51.168823 25.239727
    Oben rechts KachelX + 1 23454 KachelY 28017 -0.89296857 0.44051634 -51.163330 25.239727
    Unten links KachelX 23453 KachelY + 1 28018 -0.89306444 0.44042962 -51.168823 25.234758
    Unten rechts KachelX + 1 23454 KachelY + 1 28018 -0.89296857 0.44042962 -51.163330 25.234758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44051634-0.44042962) × R
    8.67199999999846e-05 × 6371000     		dl = 552.493119999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44051634-0.44042962) × R
    8.67199999999846e-05 × 6371000     		dr = 552.493119999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89306444--0.89296857) × cos(0.44051634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904531613039785 × 6371000     		do = 552.476846823061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89306444--0.89296857) × cos(0.44042962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904568587616092 × 6371000     		du = 552.49943044207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44051634)-sin(0.44042962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904531613039785-0.904568587616092)×R²
    abs(-0.89296857--0.89306444)×3.69745763071361e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69745763071361e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69745763071361e-05×40589641000000     		ar = 305245.895667378m²