Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23452 / 28024
↖ ↑ ↗
← N 25.204941°
W 51.174316°		 ← 552.63 m → N 25.204941°
W 51.168823°		 →
↑
552.68 m
↓
↑
552.68 m
↓
N 25.199971°
W 51.174316°		 ← 552.66 m →
305 439 m²		 N 25.199971°
W 51.168823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357856750488281 y=0.427619934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357856750488281 × 216)
    floor (0.357856750488281 × 65536)
    floor (23452.5)     		tx = 23452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427619934082031 × 216)
    floor (0.427619934082031 × 65536)
    floor (28024.5)     		ty = 28024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23452 / 28024 ti = "16/23452/28024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23452/28024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23452 ÷ 216
    23452 ÷ 65536     		x = 0.35784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28024 ÷ 216
    28024 ÷ 65536     		y = 0.4276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.2843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.89316031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4276123046875 × 2 - 1) × π
    0.144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.454825303595093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89316031} λ = -0.89316031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454825303595093))-π/2
    2×atan(1.57589805526055)-π/2
    2×1.00535276884217-π/2
    2.01070553768433-1.57079632675     		φ = 0.43990921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89316031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43990921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.204941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23452 KachelY 28024 -0.89316031 0.43990921 -51.174316 25.204941
    Oben rechts KachelX + 1 23453 KachelY 28024 -0.89306444 0.43990921 -51.168823 25.204941
    Unten links KachelX 23452 KachelY + 1 28025 -0.89316031 0.43982246 -51.174316 25.199971
    Unten rechts KachelX + 1 23453 KachelY + 1 28025 -0.89306444 0.43982246 -51.168823 25.199971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43990921-0.43982246) × R
    8.67499999999688e-05 × 6371000     		dl = 552.684249999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43990921-0.43982246) × R
    8.67499999999688e-05 × 6371000     		dr = 552.684249999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89316031--0.89306444) × cos(0.43990921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904790330535089 × 6371000     		do = 552.634868305078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89316031--0.89306444) × cos(0.43982246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904827270253103 × 6371000     		du = 552.657430633068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43990921)-sin(0.43982246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904790330535089-0.904827270253103)×R²
    abs(-0.89306444--0.89316031)×3.69397180142172e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69397180142172e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69397180142172e-05×40589641000000     		ar = 305438.822826122m²