Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23451 / 28019
↖ ↑ ↗
← N 25.229790°
W 51.179810°		 ← 552.58 m → N 25.229790°
W 51.174316°		 →
↑
552.56 m
↓
↑
552.56 m
↓
N 25.224820°
W 51.179810°		 ← 552.60 m →
305 338 m²		 N 25.224820°
W 51.174316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357841491699219 y=0.427543640136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357841491699219 × 216)
    floor (0.357841491699219 × 65536)
    floor (23451.5)     		tx = 23451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427543640136719 × 216)
    floor (0.427543640136719 × 65536)
    floor (28019.5)     		ty = 28019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23451 / 28019 ti = "16/23451/28019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23451/28019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23451 ÷ 216
    23451 ÷ 65536     		x = 0.357833862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28019 ÷ 216
    28019 ÷ 65536     		y = 0.427536010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357833862304688 × 2 - 1) × π
    -0.284332275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.89325619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427536010742188 × 2 - 1) × π
    0.144927978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.455304672591293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89325619} λ = -0.89325619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455304672591293))-π/2
    2×atan(1.57665367302481)-π/2
    2×1.00556961091741-π/2
    2.01113922183482-1.57079632675     		φ = 0.44034290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89325619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.179810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44034290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.229790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23451 KachelY 28019 -0.89325619 0.44034290 -51.179810 25.229790
    Oben rechts KachelX + 1 23452 KachelY 28019 -0.89316031 0.44034290 -51.174316 25.229790
    Unten links KachelX 23451 KachelY + 1 28020 -0.89325619 0.44025617 -51.179810 25.224820
    Unten rechts KachelX + 1 23452 KachelY + 1 28020 -0.89316031 0.44025617 -51.174316 25.224820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44034290-0.44025617) × R
    8.67299999999793e-05 × 6371000     		dl = 552.556829999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44034290-0.44025617) × R
    8.67299999999793e-05 × 6371000     		dr = 552.556829999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89325619--0.89316031) × cos(0.44034290) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.904605555389719 × 6371000     		do = 552.579642326309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89325619--0.89316031) × cos(0.44025617) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.904642520622101 × 6371000     		du = 552.602222593218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44034290)-sin(0.44025617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904605555389719-0.904642520622101)×R²
    abs(-0.89316031--0.89325619)×3.69652323813918e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.69652323813918e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.69652323813918e-05×40589641000000     		ar = 305337.894117908m²