Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23440 / 28016
↖ ↑ ↗
← N 25.244696°
W 51.240234°		 ← 552.45 m → N 25.244696°
W 51.234741°		 →
↑
552.49 m
↓
↑
552.49 m
↓
N 25.239727°
W 51.240234°		 ← 552.48 m →
305 233 m²		 N 25.239727°
W 51.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357673645019531 y=0.427497863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357673645019531 × 216)
    floor (0.357673645019531 × 65536)
    floor (23440.5)     		tx = 23440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427497863769531 × 216)
    floor (0.427497863769531 × 65536)
    floor (28016.5)     		ty = 28016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23440 / 28016 ti = "16/23440/28016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23440/28016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23440 ÷ 216
    23440 ÷ 65536     		x = 0.357666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28016 ÷ 216
    28016 ÷ 65536     		y = 0.427490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357666015625 × 2 - 1) × π
    -0.28466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.89431080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427490234375 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.455592293989014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89431080} λ = -0.89431080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455592293989014))-π/2
    2×atan(1.5771072175794)-π/2
    2×1.00569969489915-π/2
    2.01139938979829-1.57079632675     		φ = 0.44060306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89431080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44060306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.244696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23440 KachelY 28016 -0.89431080 0.44060306 -51.240234 25.244696
    Oben rechts KachelX + 1 23441 KachelY 28016 -0.89421493 0.44060306 -51.234741 25.244696
    Unten links KachelX 23440 KachelY + 1 28017 -0.89431080 0.44051634 -51.240234 25.239727
    Unten rechts KachelX + 1 23441 KachelY + 1 28017 -0.89421493 0.44051634 -51.234741 25.239727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44060306-0.44051634) × R
    8.67199999999846e-05 × 6371000     		dl = 552.493119999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44060306-0.44051634) × R
    8.67199999999846e-05 × 6371000     		dr = 552.493119999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89431080--0.89421493) × cos(0.44060306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904494631661076 × 6371000     		do = 552.454259049228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89431080--0.89421493) × cos(0.44051634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904531613039785 × 6371000     		du = 552.476846823061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44060306)-sin(0.44051634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904494631661076-0.904531613039785)×R²
    abs(-0.89421493--0.89431080)×3.69813787090001e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69813787090001e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69813787090001e-05×40589641000000     		ar = 305233.417225474m²