Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2344 / 1748
↖ ↑ ↗
← N 25.482951°
E 26.015625°		 ← 8 822.21 m → N 25.482951°
E 26.103515°		 →
↑
8 825.11 m
↓
↑
8 825.11 m
↓
N 25.403585°
E 26.015625°		 ← 8 828.02 m →
77 882 602 m²		 N 25.403585°
E 26.103515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5723876953125 y=0.4268798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5723876953125 × 212)
    floor (0.5723876953125 × 4096)
    floor (2344.5)     		tx = 2344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4268798828125 × 212)
    floor (0.4268798828125 × 4096)
    floor (1748.5)     		ty = 1748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2344 / 1748 ti = "12/2344/1748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2344/1748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2344 ÷ 212
    2344 ÷ 4096     		x = 0.572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1748 ÷ 212
    1748 ÷ 4096     		y = 0.4267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572265625 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4267578125 × 2 - 1) × π
    0.146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45405831} λ = 0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460194236352539))-π/2
    2×atan(1.5843816996312)-π/2
    2×1.00777886395897-π/2
    2.01555772791793-1.57079632675     		φ = 0.44476140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44476140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.482951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2344 KachelY 1748 0.45405831 0.44476140 26.015625 25.482951
    Oben rechts KachelX + 1 2345 KachelY 1748 0.45559229 0.44476140 26.103515 25.482951
    Unten links KachelX 2344 KachelY + 1 1749 0.45405831 0.44337620 26.015625 25.403585
    Unten rechts KachelX + 1 2345 KachelY + 1 1749 0.45559229 0.44337620 26.103515 25.403585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44476140-0.44337620) × R
    0.00138519999999998 × 6371000     		dl = 8825.10919999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44476140-0.44337620) × R
    0.00138519999999998 × 6371000     		dr = 8825.10919999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45405831-0.45559229) × cos(0.44476140) × R
    0.00153397999999999 × 0.902713346952603 × 6371000     		do = 8822.20542535462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45405831-0.45559229) × cos(0.44337620) × R
    0.00153397999999999 × 0.903308452626554 × 6371000     		du = 8828.02138511983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44476140)-sin(0.44337620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902713346952603-0.903308452626554)×R²
    abs(0.45559229-0.45405831)×0.000595105673951268×R²
    0.00153397999999999×0.000595105673951268×6371000²
    0.00153397999999999×0.000595105673951268×40589641000000     		ar = 77882601.9568934m²