Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2344 / 1337
↖ ↑ ↗
← N 81.745300°
W128.496094°		 ← 350.78 m → N 81.745300°
W128.474121°		 →
↑
350.85 m
↓
↑
350.85 m
↓
N 81.742145°
W128.496094°		 ← 350.91 m →
123 095 m²		 N 81.742145°
W128.474121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143096923828125 y=0.081634521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143096923828125 × 214)
    floor (0.143096923828125 × 16384)
    floor (2344.5)     		tx = 2344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.081634521484375 × 214)
    floor (0.081634521484375 × 16384)
    floor (1337.5)     		ty = 1337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2344 / 1337 ti = "14/2344/1337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2344/1337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2344 ÷ 214
    2344 ÷ 16384     		x = 0.14306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1337 ÷ 214
    1337 ÷ 16384     		y = 0.08160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14306640625 × 2 - 1) × π
    -0.7138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24267991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08160400390625 × 2 - 1) × π
    0.8367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62885957516388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24267991} λ = -2.24267991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62885957516388))-π/2
    2×atan(13.8579569288305)-π/2
    2×1.49876047870365-π/2
    2.99752095740729-1.57079632675     		φ = 1.42672463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24267991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42672463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.745300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2344 KachelY 1337 -2.24267991 1.42672463 -128.496094 81.745300
    Oben rechts KachelX + 1 2345 KachelY 1337 -2.24229642 1.42672463 -128.474121 81.745300
    Unten links KachelX 2344 KachelY + 1 1338 -2.24267991 1.42666956 -128.496094 81.742145
    Unten rechts KachelX + 1 2345 KachelY + 1 1338 -2.24229642 1.42666956 -128.474121 81.742145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42672463-1.42666956) × R
    5.50700000001569e-05 × 6371000     		dl = 350.850970001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42672463-1.42666956) × R
    5.50700000001569e-05 × 6371000     		dr = 350.850970001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24267991--2.24229642) × cos(1.42672463) × R
    0.000383489999999931 × 0.143573806080621 × 6371000     		do = 350.781646472703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24267991--2.24229642) × cos(1.42666956) × R
    0.000383489999999931 × 0.143628305316334 × 6371000     		du = 350.91479981144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42672463)-sin(1.42666956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143573806080621-0.143628305316334)×R²
    abs(-2.24229642--2.24267991)×5.44992357127405e-05×R²
    0.000383489999999931×5.44992357127405e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.44992357127405e-05×40589641000000     		ar = 123095.439444601m²