Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2343 / 1706
↖ ↑ ↗
← N 28.767659°
E 25.927734°		 ← 8 566.79 m → N 28.767659°
E 26.015625°		 →
↑
8 569.95 m
↓
↑
8 569.95 m
↓
N 28.690588°
E 25.927734°		 ← 8 573.11 m →
73 444 052 m²		 N 28.690588°
E 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5721435546875 y=0.4166259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5721435546875 × 212)
    floor (0.5721435546875 × 4096)
    floor (2343.5)     		tx = 2343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4166259765625 × 212)
    floor (0.4166259765625 × 4096)
    floor (1706.5)     		ty = 1706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2343 / 1706 ti = "12/2343/1706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2343/1706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2343 ÷ 212
    2343 ÷ 4096     		x = 0.572021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1706 ÷ 212
    1706 ÷ 4096     		y = 0.41650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572021484375 × 2 - 1) × π
    0.14404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45252433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41650390625 × 2 - 1) × π
    0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45252433} λ = 0.45252433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524621429441894))-π/2
    2×atan(1.68981901154874)-π/2
    2×1.0364433481337-π/2
    2.07288669626739-1.57079632675     		φ = 0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45252433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2343 KachelY 1706 0.45252433 0.50209037 25.927734 28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 2344 KachelY 1706 0.45405831 0.50209037 26.015625 28.767659
    Unten links KachelX 2343 KachelY + 1 1707 0.45252433 0.50074522 25.927734 28.690588
    Unten rechts KachelX + 1 2344 KachelY + 1 1707 0.45405831 0.50074522 26.015625 28.690588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50209037-0.50074522) × R
    0.00134515000000002 × 6371000     		dl = 8569.95065000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50209037-0.50074522) × R
    0.00134515000000002 × 6371000     		dr = 8569.95065000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45252433-0.45405831) × cos(0.50209037) × R
    0.00153398000000005 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 8566.78960891796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45252433-0.45405831) × cos(0.50074522) × R
    0.00153398000000005 × 0.877225040739587 × 6371000     		du = 8573.10855078819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50209037)-sin(0.50074522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.877225040739587)×R²
    abs(0.45405831-0.45252433)×0.000646572244677457×R²
    0.00153398000000005×0.000646572244677457×6371000²
    0.00153398000000005×0.000646572244677457×40589641000000     		ar = 73444051.7616711m²