Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2343 / 1705
↖ ↑ ↗
← N 28.844674°
E 25.927734°		 ← 8 560.46 m → N 28.844674°
E 26.015625°		 →
↑
8 563.64 m
↓
↑
8 563.64 m
↓
N 28.767659°
E 25.927734°		 ← 8 566.79 m →
73 335 839 m²		 N 28.767659°
E 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5721435546875 y=0.4163818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5721435546875 × 212)
    floor (0.5721435546875 × 4096)
    floor (2343.5)     		tx = 2343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4163818359375 × 212)
    floor (0.4163818359375 × 4096)
    floor (1705.5)     		ty = 1705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2343 / 1705 ti = "12/2343/1705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2343/1705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2343 ÷ 212
    2343 ÷ 4096     		x = 0.572021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1705 ÷ 212
    1705 ÷ 4096     		y = 0.416259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572021484375 × 2 - 1) × π
    0.14404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45252433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    0.16748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.526155410229736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45252433} λ = 0.45252433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526155410229736))-π/2
    2×atan(1.69241315061844)-π/2
    2×1.03711542708727-π/2
    2.07423085417454-1.57079632675     		φ = 0.50343453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45252433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50343453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.844674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2343 KachelY 1705 0.45252433 0.50343453 25.927734 28.844674
    Oben rechts KachelX + 1 2344 KachelY 1705 0.45405831 0.50343453 26.015625 28.844674
    Unten links KachelX 2343 KachelY + 1 1706 0.45252433 0.50209037 25.927734 28.767659
    Unten rechts KachelX + 1 2344 KachelY + 1 1706 0.45405831 0.50209037 26.015625 28.767659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50343453-0.50209037) × R
    0.00134416000000004 × 6371000     		dl = 8563.64336000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50343453-0.50209037) × R
    0.00134416000000004 × 6371000     		dr = 8563.64336000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45252433-0.45405831) × cos(0.50343453) × R
    0.00153398000000005 × 0.875930787757238 × 6371000     		do = 8560.45983376057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45252433-0.45405831) × cos(0.50209037) × R
    0.00153398000000005 × 0.876578468494909 × 6371000     		du = 8566.78960891796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50343453)-sin(0.50209037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875930787757238-0.876578468494909)×R²
    abs(0.45405831-0.45252433)×0.000647680737671297×R²
    0.00153398000000005×0.000647680737671297×6371000²
    0.00153398000000005×0.000647680737671297×40589641000000     		ar = 73335839.0241573m²