Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2343 / 1318
↖ ↑ ↗
← N 81.805024°
W128.518067°		 ← 348.27 m → N 81.805024°
W128.496094°		 →
↑
348.37 m
↓
↑
348.37 m
↓
N 81.801891°
W128.518067°		 ← 348.40 m →
121 349 m²		 N 81.801891°
W128.496094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143035888671875 y=0.080474853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143035888671875 × 214)
    floor (0.143035888671875 × 16384)
    floor (2343.5)     		tx = 2343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.080474853515625 × 214)
    floor (0.080474853515625 × 16384)
    floor (1318.5)     		ty = 1318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2343 / 1318 ti = "14/2343/1318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2343/1318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2343 ÷ 214
    2343 ÷ 16384     		x = 0.14300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1318 ÷ 214
    1318 ÷ 16384     		y = 0.0804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.7139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.24306341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0804443359375 × 2 - 1) × π
    0.839111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.63614598390613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24306341} λ = -2.24306341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63614598390613))-π/2
    2×atan(13.9593004340727)-π/2
    2×1.49928166594665-π/2
    2.9985633318933-1.57079632675     		φ = 1.42776701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24306341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.518067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42776701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.805024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2343 KachelY 1318 -2.24306341 1.42776701 -128.518067 81.805024
    Oben rechts KachelX + 1 2344 KachelY 1318 -2.24267991 1.42776701 -128.496094 81.805024
    Unten links KachelX 2343 KachelY + 1 1319 -2.24306341 1.42771233 -128.518067 81.801891
    Unten rechts KachelX + 1 2344 KachelY + 1 1319 -2.24267991 1.42771233 -128.496094 81.801891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42776701-1.42771233) × R
    5.46799999998626e-05 × 6371000     		dl = 348.366279999125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42776701-1.42771233) × R
    5.46799999998626e-05 × 6371000     		dr = 348.366279999125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24306341--2.24267991) × cos(1.42776701) × R
    0.00038349999999987 × 0.14254214772789 × 6371000     		do = 348.270164887258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24306341--2.24267991) × cos(1.42771233) × R
    0.00038349999999987 × 0.142596269162693 × 6371000     		du = 348.402398625304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42776701)-sin(1.42771233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14254214772789-0.142596269162693)×R²
    abs(-2.24267991--2.24306341)×5.41214348038499e-05×R²
    0.00038349999999987×5.41214348038499e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.41214348038499e-05×40589641000000     		ar = 121348.614694917m²