Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2343 / 1000
↖ ↑ ↗
← N 82.743202°
W128.518067°		 ← 308.63 m → N 82.743202°
W128.496094°		 →
↑
308.67 m
↓
↑
308.67 m
↓
N 82.740426°
W128.518067°		 ← 308.74 m →
95 283 m²		 N 82.740426°
W128.496094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143035888671875 y=0.061065673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143035888671875 × 214)
    floor (0.143035888671875 × 16384)
    floor (2343.5)     		tx = 2343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.061065673828125 × 214)
    floor (0.061065673828125 × 16384)
    floor (1000.5)     		ty = 1000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2343 / 1000 ti = "14/2343/1000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2343/1000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2343 ÷ 214
    2343 ÷ 16384     		x = 0.14300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1000 ÷ 214
    1000 ÷ 16384     		y = 0.06103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.7139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.24306341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06103515625 × 2 - 1) × π
    0.8779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.75809745653955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24306341} λ = -2.24306341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75809745653955))-π/2
    2×atan(15.7698116373787)-π/2
    2×1.507468820139-π/2
    3.014937640278-1.57079632675     		φ = 1.44414131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24306341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.518067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44414131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.743202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2343 KachelY 1000 -2.24306341 1.44414131 -128.518067 82.743202
    Oben rechts KachelX + 1 2344 KachelY 1000 -2.24267991 1.44414131 -128.496094 82.743202
    Unten links KachelX 2343 KachelY + 1 1001 -2.24306341 1.44409286 -128.518067 82.740426
    Unten rechts KachelX + 1 2344 KachelY + 1 1001 -2.24267991 1.44409286 -128.496094 82.740426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44414131-1.44409286) × R
    4.84499999999777e-05 × 6371000     		dl = 308.674949999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44414131-1.44409286) × R
    4.84499999999777e-05 × 6371000     		dr = 308.674949999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24306341--2.24267991) × cos(1.44414131) × R
    0.00038349999999987 × 0.126316665691675 × 6371000     		do = 308.626793476052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24306341--2.24267991) × cos(1.44409286) × R
    0.00038349999999987 × 0.12636472745743 × 6371000     		du = 308.744221754993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44414131)-sin(1.44409286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126316665691675-0.12636472745743)×R²
    abs(-2.24267991--2.24306341)×4.80617657546978e-05×R²
    0.00038349999999987×4.80617657546978e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.80617657546978e-05×40589641000000     		ar = 95283.4836461552m²