Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23427 / 27815
↖ ↑ ↗
← N 26.239229°
W 51.311646°		 ← 547.91 m → N 26.239229°
W 51.306152°		 →
↑
547.84 m
↓
↑
547.84 m
↓
N 26.234302°
W 51.311646°		 ← 547.93 m →
300 173 m²		 N 26.234302°
W 51.306152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357475280761719 y=0.424430847167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357475280761719 × 216)
    floor (0.357475280761719 × 65536)
    floor (23427.5)     		tx = 23427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424430847167969 × 216)
    floor (0.424430847167969 × 65536)
    floor (27815.5)     		ty = 27815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23427 / 27815 ti = "16/23427/27815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23427/27815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23427 ÷ 216
    23427 ÷ 65536     		x = 0.357467651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27815 ÷ 216
    27815 ÷ 65536     		y = 0.424423217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357467651367188 × 2 - 1) × π
    -0.285064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.89555716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424423217773438 × 2 - 1) × π
    0.151153564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.474862927636276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89555716} λ = -0.89555716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474862927636276))-π/2
    2×atan(1.6077937982845)-π/2
    2×1.01437863530014-π/2
    2.02875727060028-1.57079632675     		φ = 0.45796094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89555716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.311646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45796094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.239229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23427 KachelY 27815 -0.89555716 0.45796094 -51.311646 26.239229
    Oben rechts KachelX + 1 23428 KachelY 27815 -0.89546128 0.45796094 -51.306152 26.239229
    Unten links KachelX 23427 KachelY + 1 27816 -0.89555716 0.45787495 -51.311646 26.234302
    Unten rechts KachelX + 1 23428 KachelY + 1 27816 -0.89546128 0.45787495 -51.306152 26.234302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45796094-0.45787495) × R
    8.59899999999802e-05 × 6371000     		dl = 547.842289999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45796094-0.45787495) × R
    8.59899999999802e-05 × 6371000     		dr = 547.842289999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89555716--0.89546128) × cos(0.45796094) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.896955870937704 × 6371000     		do = 547.906821256626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89555716--0.89546128) × cos(0.45787495) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.896993885527208 × 6371000     		du = 547.930042524887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45796094)-sin(0.45787495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896955870937704-0.896993885527208)×R²
    abs(-0.89546128--0.89555716)×3.80145895046979e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.80145895046979e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.80145895046979e-05×40589641000000     		ar = 300172.888645247m²