Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2342 / 993
↖ ↑ ↗
← N 82.762605°
W128.540039°		 ← 307.80 m → N 82.762605°
W128.518067°		 →
↑
307.91 m
↓
↑
307.91 m
↓
N 82.759836°
W128.540039°		 ← 307.92 m →
94 792 m²		 N 82.759836°
W128.518067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142974853515625 y=0.060638427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142974853515625 × 214)
    floor (0.142974853515625 × 16384)
    floor (2342.5)     		tx = 2342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.060638427734375 × 214)
    floor (0.060638427734375 × 16384)
    floor (993.5)     		ty = 993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2342 / 993 ti = "14/2342/993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2342/993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2342 ÷ 214
    2342 ÷ 16384     		x = 0.1429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 993 ÷ 214
    993 ÷ 16384     		y = 0.06060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.24344690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06060791015625 × 2 - 1) × π
    0.8787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.76078192291827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24344690} λ = -2.24344690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76078192291827))-π/2
    2×atan(15.8122020388652)-π/2
    2×1.50763814100446-π/2
    3.01527628200892-1.57079632675     		φ = 1.44447996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24344690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.540039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44447996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.762605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2342 KachelY 993 -2.24344690 1.44447996 -128.540039 82.762605
    Oben rechts KachelX + 1 2343 KachelY 993 -2.24306341 1.44447996 -128.518067 82.762605
    Unten links KachelX 2342 KachelY + 1 994 -2.24344690 1.44443163 -128.540039 82.759836
    Unten rechts KachelX + 1 2343 KachelY + 1 994 -2.24306341 1.44443163 -128.518067 82.759836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44447996-1.44443163) × R
    4.83300000000408e-05 × 6371000     		dl = 307.91043000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44447996-1.44443163) × R
    4.83300000000408e-05 × 6371000     		dr = 307.91043000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24344690--2.24306341) × cos(1.44447996) × R
    0.000383489999999931 × 0.125980721051621 × 6371000     		do = 307.797960928129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24344690--2.24306341) × cos(1.44443163) × R
    0.000383489999999931 × 0.126028665844375 × 6371000     		du = 307.91510035489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44447996)-sin(1.44443163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125980721051621-0.126028665844375)×R²
    abs(-2.24306341--2.24344690)×4.79447927543286e-05×R²
    0.000383489999999931×4.79447927543286e-05×6371000²
    0.000383489999999931×4.79447927543286e-05×40589641000000     		ar = 94792.2367474913m²