Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2340 / 994
↖ ↑ ↗
← N 82.759836°
W128.583984°		 ← 307.92 m → N 82.759836°
W128.562012°		 →
↑
307.97 m
↓
↑
307.97 m
↓
N 82.757067°
W128.583984°		 ← 308.03 m →
94 848 m²		 N 82.757067°
W128.562012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142852783203125 y=0.060699462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142852783203125 × 214)
    floor (0.142852783203125 × 16384)
    floor (2340.5)     		tx = 2340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.060699462890625 × 214)
    floor (0.060699462890625 × 16384)
    floor (994.5)     		ty = 994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2340 / 994 ti = "14/2340/994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2340/994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2340 ÷ 214
    2340 ÷ 16384     		x = 0.142822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 994 ÷ 214
    994 ÷ 16384     		y = 0.0606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.71435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24421389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0606689453125 × 2 - 1) × π
    0.878662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.76039842772131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24421389} λ = -2.24421389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76039842772131))-π/2
    2×atan(15.8061392979202)-π/2
    2×1.50761397990721-π/2
    3.01522795981443-1.57079632675     		φ = 1.44443163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24421389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.583984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44443163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.759836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2340 KachelY 994 -2.24421389 1.44443163 -128.583984 82.759836
    Oben rechts KachelX + 1 2341 KachelY 994 -2.24383040 1.44443163 -128.562012 82.759836
    Unten links KachelX 2340 KachelY + 1 995 -2.24421389 1.44438329 -128.583984 82.757067
    Unten rechts KachelX + 1 2341 KachelY + 1 995 -2.24383040 1.44438329 -128.562012 82.757067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44443163-1.44438329) × R
    4.83399999999801e-05 × 6371000     		dl = 307.974139999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44443163-1.44438329) × R
    4.83399999999801e-05 × 6371000     		dr = 307.974139999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24421389--2.24383040) × cos(1.44443163) × R
    0.000383490000000375 × 0.126028665844375 × 6371000     		do = 307.915100355247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24421389--2.24383040) × cos(1.44438329) × R
    0.000383490000000375 × 0.126076620262958 × 6371000     		du = 308.032263299975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44443163)-sin(1.44438329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126028665844375-0.126076620262958)×R²
    abs(-2.24383040--2.24421389)×4.79544185829905e-05×R²
    0.000383490000000375×4.79544185829905e-05×6371000²
    0.000383490000000375×4.79544185829905e-05×40589641000000     		ar = 94847.9298206214m²