Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 234 / 226
↖ ↑ ↗
← N 70.377854°
W 97.734375°		 ← 13.128 km → N 70.377854°
W 97.382812°		 →
↑
13.166 km
↓
↑
13.166 km
↓
N 70.259452°
W 97.734375°		 ← 13.204 km →
173.336 km²		 N 70.259452°
W 97.382812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22900390625 y=0.22119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22900390625 × 210)
    floor (0.22900390625 × 1024)
    floor (234.5)     		tx = 234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22119140625 × 210)
    floor (0.22119140625 × 1024)
    floor (226.5)     		ty = 226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 234 / 226 ti = "10/234/226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/234/226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 234 ÷ 210
    234 ÷ 1024     		x = 0.228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 226 ÷ 210
    226 ÷ 1024     		y = 0.220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228515625 × 2 - 1) × π
    -0.54296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70578664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220703125 × 2 - 1) × π
    0.55859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75487402129102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70578664} λ = -1.70578664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75487402129102))-π/2
    2×atan(5.78271919656833)-π/2
    2×1.39956079926889-π/2
    2.79912159853778-1.57079632675     		φ = 1.22832527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70578664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22832527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.377854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 234 KachelY 226 -1.70578664 1.22832527 -97.734375 70.377854
    Oben rechts KachelX + 1 235 KachelY 226 -1.69965071 1.22832527 -97.382812 70.377854
    Unten links KachelX 234 KachelY + 1 227 -1.70578664 1.22625877 -97.734375 70.259452
    Unten rechts KachelX + 1 235 KachelY + 1 227 -1.69965071 1.22625877 -97.382812 70.259452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22832527-1.22625877) × R
    0.00206649999999997 × 6371000     		dl = 13165.6714999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22832527-1.22625877) × R
    0.00206649999999997 × 6371000     		dr = 13165.6714999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70578664--1.69965071) × cos(1.22832527) × R
    0.0061359299999999 × 0.335815671936321 × 6371000     		do = 13127.7096155657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70578664--1.69965071) × cos(1.22625877) × R
    0.0061359299999999 × 0.337761447152447 × 6371000     		du = 13203.7738798306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22832527)-sin(1.22625877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335815671936321-0.337761447152447)×R²
    abs(-1.69965071--1.70578664)×0.00194577521612588×R²
    0.0061359299999999×0.00194577521612588×6371000²
    0.0061359299999999×0.00194577521612588×40589641000000     		ar = 173335892.588817m²