Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 234 / 219
↖ ↑ ↗
← N 71.187754°
W 97.734375°		 ← 12.606 km → N 71.187754°
W 97.382812°		 →
↑
12.643 km
↓
↑
12.643 km
↓
N 71.074057°
W 97.734375°		 ← 12.679 km →
159.835 km²		 N 71.074057°
W 97.382812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22900390625 y=0.21435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22900390625 × 210)
    floor (0.22900390625 × 1024)
    floor (234.5)     		tx = 234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21435546875 × 210)
    floor (0.21435546875 × 1024)
    floor (219.5)     		ty = 219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 234 / 219 ti = "10/234/219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/234/219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 234 ÷ 210
    234 ÷ 1024     		x = 0.228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 219 ÷ 210
    219 ÷ 1024     		y = 0.2138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228515625 × 2 - 1) × π
    -0.54296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70578664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2138671875 × 2 - 1) × π
    0.572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79782548335059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70578664} λ = -1.70578664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79782548335059))-π/2
    2×atan(6.03650669786435)-π/2
    2×1.40662850987461-π/2
    2.81325701974922-1.57079632675     		φ = 1.24246069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70578664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24246069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.187754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 234 KachelY 219 -1.70578664 1.24246069 -97.734375 71.187754
    Oben rechts KachelX + 1 235 KachelY 219 -1.69965071 1.24246069 -97.382812 71.187754
    Unten links KachelX 234 KachelY + 1 220 -1.70578664 1.24047630 -97.734375 71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 235 KachelY + 1 220 -1.69965071 1.24047630 -97.382812 71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24246069-1.24047630) × R
    0.00198438999999984 × 6371000     		dl = 12642.548689999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24246069-1.24047630) × R
    0.00198438999999984 × 6371000     		dr = 12642.548689999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70578664--1.69965071) × cos(1.24246069) × R
    0.0061359299999999 × 0.322468022238295 × 6371000     		do = 12605.9231596935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70578664--1.69965071) × cos(1.24047630) × R
    0.0061359299999999 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 12679.328121195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24246069)-sin(1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322468022238295-0.324345770694955)×R²
    abs(-1.69965071--1.70578664)×0.00187774845665956×R²
    0.0061359299999999×0.00187774845665956×6371000²
    0.0061359299999999×0.00187774845665956×40589641000000     		ar = 159835062.678689m²