Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 234 / 137
↖ ↑ ↗
← N 63.860036°
W 15.468750°		 ← 34.445 km → N 63.860036°
W 14.765625°		 →
↑
34.635 km
↓
↑
34.635 km
↓
N 63.548552°
W 15.468750°		 ← 34.826 km →
1 199.62 km²		 N 63.548552°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4580078125 y=0.2685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4580078125 × 29)
    floor (0.4580078125 × 512)
    floor (234.5)     		tx = 234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2685546875 × 29)
    floor (0.2685546875 × 512)
    floor (137.5)     		ty = 137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 234 / 137 ti = "9/234/137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/234/137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 234 ÷ 29
    234 ÷ 512     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 137 ÷ 29
    137 ÷ 512     		y = 0.267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267578125 × 2 - 1) × π
    0.46484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46034971002539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46034971002539))-π/2
    2×atan(4.30746562889508)-π/2
    2×1.34268210679646-π/2
    2.68536421359292-1.57079632675     		φ = 1.11456789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11456789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.860036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 234 KachelY 137 -0.26998062 1.11456789 -15.468750 63.860036
    Oben rechts KachelX + 1 235 KachelY 137 -0.25770877 1.11456789 -14.765625 63.860036
    Unten links KachelX 234 KachelY + 1 138 -0.26998062 1.10913147 -15.468750 63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 235 KachelY + 1 138 -0.25770877 1.10913147 -14.765625 63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11456789-1.10913147) × R
    0.00543642000000011 × 6371000     		dl = 34635.4318200007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11456789-1.10913147) × R
    0.00543642000000011 × 6371000     		dr = 34635.4318200007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.25770877) × cos(1.11456789) × R
    0.01227185 × 0.44056543883997 × 6371000     		do = 34445.1490395829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.25770877) × cos(1.10913147) × R
    0.01227185 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 34826.2060144909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11456789)-sin(1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44056543883997-0.445439290109431)×R²
    abs(-0.25770877--0.26998062)×0.00487385126946155×R²
    0.01227185×0.00487385126946155×6371000²
    0.01227185×0.00487385126946155×40589641000000     		ar = 1199624602.07039m²