Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 234 / 126
↖ ↑ ↗
← N 67.067433°
W 15.468750°		 ← 30.464 km → N 67.067433°
W 14.765625°		 →
↑
30.637 km
↓
↑
30.637 km
↓
N 66.791909°
W 15.468750°		 ← 30.810 km →
938.628 km²		 N 66.791909°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4580078125 y=0.2470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4580078125 × 29)
    floor (0.4580078125 × 512)
    floor (234.5)     		tx = 234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2470703125 × 29)
    floor (0.2470703125 × 512)
    floor (126.5)     		ty = 126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 234 / 126 ti = "9/234/126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/234/126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 234 ÷ 29
    234 ÷ 512     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 126 ÷ 29
    126 ÷ 512     		y = 0.24609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24609375 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59534001935547))-π/2
    2×atan(4.93000508431591)-π/2
    2×1.37067192980769-π/2
    2.74134385961538-1.57079632675     		φ = 1.17054753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17054753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.067433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 234 KachelY 126 -0.26998062 1.17054753 -15.468750 67.067433
    Oben rechts KachelX + 1 235 KachelY 126 -0.25770877 1.17054753 -14.765625 67.067433
    Unten links KachelX 234 KachelY + 1 127 -0.26998062 1.16573873 -15.468750 66.791909
    Unten rechts KachelX + 1 235 KachelY + 1 127 -0.25770877 1.16573873 -14.765625 66.791909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17054753-1.16573873) × R
    0.00480879999999995 × 6371000     		dl = 30636.8647999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17054753-1.16573873) × R
    0.00480879999999995 × 6371000     		dr = 30636.8647999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.25770877) × cos(1.17054753) × R
    0.01227185 × 0.389647487277031 × 6371000     		do = 30464.1821371547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.25770877) × cos(1.16573873) × R
    0.01227185 × 0.394071697069453 × 6371000     		du = 30810.0843624486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17054753)-sin(1.16573873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389647487277031-0.394071697069453)×R²
    abs(-0.25770877--0.26998062)×0.00442420979242147×R²
    0.01227185×0.00442420979242147×6371000²
    0.01227185×0.00442420979242147×40589641000000     		ar = 938627518.013244m²