Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2338 / 1910
↖ ↑ ↗
← N 12.039320°
E 25.488281°		 ← 9 558.03 m → N 12.039320°
E 25.576172°		 →
↑
9 559.56 m
↓
↑
9 559.56 m
↓
N 11.953349°
E 25.488281°		 ← 9 561.07 m →
91 385 097 m²		 N 11.953349°
E 25.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5709228515625 y=0.4664306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5709228515625 × 212)
    floor (0.5709228515625 × 4096)
    floor (2338.5)     		tx = 2338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4664306640625 × 212)
    floor (0.4664306640625 × 4096)
    floor (1910.5)     		ty = 1910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2338 / 1910 ti = "12/2338/1910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2338/1910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2338 ÷ 212
    2338 ÷ 4096     		x = 0.57080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1910 ÷ 212
    1910 ÷ 4096     		y = 0.46630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46630859375 × 2 - 1) × π
    0.0673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.211689348722168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44485443} λ = 0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211689348722168))-π/2
    2×atan(1.23576393379898)-π/2
    2×0.890461055110551-π/2
    1.7809221102211-1.57079632675     		φ = 0.21012578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21012578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.039320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2338 KachelY 1910 0.44485443 0.21012578 25.488281 12.039320
    Oben rechts KachelX + 1 2339 KachelY 1910 0.44638841 0.21012578 25.576172 12.039320
    Unten links KachelX 2338 KachelY + 1 1911 0.44485443 0.20862530 25.488281 11.953349
    Unten rechts KachelX + 1 2339 KachelY + 1 1911 0.44638841 0.20862530 25.576172 11.953349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21012578-0.20862530) × R
    0.00150048 × 6371000     		dl = 9559.55807999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21012578-0.20862530) × R
    0.00150048 × 6371000     		dr = 9559.55807999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44485443-0.44638841) × cos(0.21012578) × R
    0.00153397999999999 × 0.978004686901493 × 6371000     		do = 9558.02668026533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44485443-0.44638841) × cos(0.20862530) × R
    0.00153397999999999 × 0.978316560316897 × 6371000     		du = 9561.07461496873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21012578)-sin(0.20862530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978004686901493-0.978316560316897)×R²
    abs(0.44638841-0.44485443)×0.000311873415404285×R²
    0.00153397999999999×0.000311873415404285×6371000²
    0.00153397999999999×0.000311873415404285×40589641000000     		ar = 91385096.7802703m²