Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2337 / 1761
↖ ↑ ↗
← N 80.294223°
W128.649902°		 ← 411.91 m → N 80.294223°
W128.627930°		 →
↑
411.95 m
↓
↑
411.95 m
↓
N 80.290519°
W128.649902°		 ← 412.07 m →
169 718 m²		 N 80.290519°
W128.627930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142669677734375 y=0.107513427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142669677734375 × 214)
    floor (0.142669677734375 × 16384)
    floor (2337.5)     		tx = 2337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107513427734375 × 214)
    floor (0.107513427734375 × 16384)
    floor (1761.5)     		ty = 1761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2337 / 1761 ti = "14/2337/1761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2337/1761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2337 ÷ 214
    2337 ÷ 16384     		x = 0.14263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1761 ÷ 214
    1761 ÷ 16384     		y = 0.10748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.7147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24536438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10748291015625 × 2 - 1) × π
    0.7850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46625761165265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24536438} λ = -2.24536438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46625761165265))-π/2
    2×atan(11.7782853505969)-π/2
    2×1.48609744865823-π/2
    2.97219489731647-1.57079632675     		φ = 1.40139857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24536438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.649902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40139857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.294223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2337 KachelY 1761 -2.24536438 1.40139857 -128.649902 80.294223
    Oben rechts KachelX + 1 2338 KachelY 1761 -2.24498088 1.40139857 -128.627930 80.294223
    Unten links KachelX 2337 KachelY + 1 1762 -2.24536438 1.40133391 -128.649902 80.290519
    Unten rechts KachelX + 1 2338 KachelY + 1 1762 -2.24498088 1.40133391 -128.627930 80.290519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40139857-1.40133391) × R
    6.46600000000497e-05 × 6371000     		dl = 411.948860000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40139857-1.40133391) × R
    6.46600000000497e-05 × 6371000     		dr = 411.948860000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24536438--2.24498088) × cos(1.40139857) × R
    0.00038349999999987 × 0.168588756692998 × 6371000     		do = 411.909284569593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24536438--2.24498088) × cos(1.40133391) × R
    0.00038349999999987 × 0.168652490828134 × 6371000     		du = 412.065004811688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40139857)-sin(1.40133391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168588756692998-0.168652490828134)×R²
    abs(-2.24498088--2.24536438)×6.37341351365506e-05×R²
    0.00038349999999987×6.37341351365506e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.37341351365506e-05×40589641000000     		ar = 169717.634649949m²