Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23360 / 9282
↖ ↑ ↗
← N 82.284594°
W115.839844°		 ← 41 m → N 82.284594°
W115.837097°		 →
↑
41.03 m
↓
↑
41.03 m
↓
N 82.284225°
W115.839844°		 ← 41.01 m →
1 682 m²		 N 82.284225°
W115.837097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.178226470947266 y=0.0708198547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.178226470947266 × 217)
    floor (0.178226470947266 × 131072)
    floor (23360.5)     		tx = 23360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0708198547363281 × 217)
    floor (0.0708198547363281 × 131072)
    floor (9282.5)     		ty = 9282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23360 / 9282 ti = "17/23360/9282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23360/9282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23360 ÷ 217
    23360 ÷ 131072     		x = 0.17822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9282 ÷ 217
    9282 ÷ 131072     		y = 0.0708160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17822265625 × 2 - 1) × π
    -0.6435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.02178668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0708160400390625 × 2 - 1) × π
    0.858367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.69664235122664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02178668} λ = -2.02178668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69664235122664))-π/2
    2×atan(14.8298545937018)-π/2
    2×1.50346670840185-π/2
    3.0069334168037-1.57079632675     		φ = 1.43613709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02178668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43613709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.284594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23360 KachelY 9282 -2.02178668 1.43613709 -115.839844 82.284594
    Oben rechts KachelX + 1 23361 KachelY 9282 -2.02173874 1.43613709 -115.837097 82.284594
    Unten links KachelX 23360 KachelY + 1 9283 -2.02178668 1.43613065 -115.839844 82.284225
    Unten rechts KachelX + 1 23361 KachelY + 1 9283 -2.02173874 1.43613065 -115.837097 82.284225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43613709-1.43613065) × R
    6.43999999994094e-06 × 6371000     		dl = 41.0292399996237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43613709-1.43613065) × R
    6.43999999994094e-06 × 6371000     		dr = 41.0292399996237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02178668--2.02173874) × cos(1.43613709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134252640486037 × 6371000     		do = 41.0042120673749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02178668--2.02173874) × cos(1.43613065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134259022182816 × 6371000     		du = 41.006161201836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43613709)-sin(1.43613065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134252640486037-0.134259022182816)×R²
    abs(-2.02173874--2.02178668)×6.38169677885658e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.38169677885658e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.38169677885658e-06×40589641000000     		ar = 1682.41164363841m²