Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23360 / 9280
↖ ↑ ↗
← N 82.285331°
W115.839844°		 ← 41 m → N 82.285331°
W115.837097°		 →
↑
40.97 m
↓
↑
40.97 m
↓
N 82.284963°
W115.839844°		 ← 41 m →
1 680 m²		 N 82.284963°
W115.837097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.178226470947266 y=0.0708045959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.178226470947266 × 217)
    floor (0.178226470947266 × 131072)
    floor (23360.5)     		tx = 23360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0708045959472656 × 217)
    floor (0.0708045959472656 × 131072)
    floor (9280.5)     		ty = 9280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23360 / 9280 ti = "17/23360/9280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23360/9280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23360 ÷ 217
    23360 ÷ 131072     		x = 0.17822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9280 ÷ 217
    9280 ÷ 131072     		y = 0.07080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17822265625 × 2 - 1) × π
    -0.6435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.02178668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07080078125 × 2 - 1) × π
    0.8583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69673822502588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02178668} λ = -2.02178668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69673822502588))-π/2
    2×atan(14.8312764563624)-π/2
    2×1.5034731437515-π/2
    3.00694628750299-1.57079632675     		φ = 1.43614996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02178668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43614996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.285331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23360 KachelY 9280 -2.02178668 1.43614996 -115.839844 82.285331
    Oben rechts KachelX + 1 23361 KachelY 9280 -2.02173874 1.43614996 -115.837097 82.285331
    Unten links KachelX 23360 KachelY + 1 9281 -2.02178668 1.43614353 -115.839844 82.284963
    Unten rechts KachelX + 1 23361 KachelY + 1 9281 -2.02173874 1.43614353 -115.837097 82.284963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43614996-1.43614353) × R
    6.43000000000171e-06 × 6371000     		dl = 40.9655300000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43614996-1.43614353) × R
    6.43000000000171e-06 × 6371000     		dr = 40.9655300000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02178668--2.02173874) × cos(1.43614996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134239886985264 × 6371000     		do = 41.0003168199638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02178668--2.02173874) × cos(1.43614353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.13424625878369 × 6371000     		du = 41.0022629312131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43614996)-sin(1.43614353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134239886985264-0.13424625878369)×R²
    abs(-2.02173874--2.02178668)×6.37179842585822e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.37179842585822e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.37179842585822e-06×40589641000000     		ar = 1679.63957047339m²