Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23360 / 31424
↖ ↑ ↗
← N 67.941650°
W115.839844°		 ← 114.70 m → N 67.941650°
W115.837097°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
N 67.940619°
W115.839844°		 ← 114.71 m →
13 154 m²		 N 67.940619°
W115.837097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.178226470947266 y=0.239749908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.178226470947266 × 217)
    floor (0.178226470947266 × 131072)
    floor (23360.5)     		tx = 23360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239749908447266 × 217)
    floor (0.239749908447266 × 131072)
    floor (31424.5)     		ty = 31424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23360 / 31424 ti = "17/23360/31424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23360/31424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23360 ÷ 217
    23360 ÷ 131072     		x = 0.17822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31424 ÷ 217
    31424 ÷ 131072     		y = 0.23974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17822265625 × 2 - 1) × π
    -0.6435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.02178668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23974609375 × 2 - 1) × π
    0.5205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.63522351983936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02178668} λ = -2.02178668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63522351983936))-π/2
    2×atan(5.13060466080091)-π/2
    2×1.37830090956584-π/2
    2.75660181913168-1.57079632675     		φ = 1.18580549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02178668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18580549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.941650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23360 KachelY 31424 -2.02178668 1.18580549 -115.839844 67.941650
    Oben rechts KachelX + 1 23361 KachelY 31424 -2.02173874 1.18580549 -115.837097 67.941650
    Unten links KachelX 23360 KachelY + 1 31425 -2.02178668 1.18578749 -115.839844 67.940619
    Unten rechts KachelX + 1 23361 KachelY + 1 31425 -2.02173874 1.18578749 -115.837097 67.940619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18580549-1.18578749) × R
    1.79999999998515e-05 × 6371000     		dl = 114.677999999054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18580549-1.18578749) × R
    1.79999999998515e-05 × 6371000     		dr = 114.677999999054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02178668--2.02173874) × cos(1.18580549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375550644287607 × 6371000     		do = 114.702833438944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02178668--2.02173874) × cos(1.18578749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375567326660498 × 6371000     		du = 114.707928665029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18580549)-sin(1.18578749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375550644287607-0.375567326660498)×R²
    abs(-2.02173874--2.02178668)×1.66823728910415e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66823728910415e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66823728910415e-05×40589641000000     		ar = 13154.1836884273m²