Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2335 / 1707
↖ ↑ ↗
← N 28.690588°
E 25.224610°		 ← 8 573.11 m → N 28.690588°
E 25.312500°		 →
↑
8 576.26 m
↓
↑
8 576.26 m
↓
N 28.613460°
E 25.224610°		 ← 8 579.42 m →
73 552 251 m²		 N 28.613460°
E 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5701904296875 y=0.4168701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5701904296875 × 212)
    floor (0.5701904296875 × 4096)
    floor (2335.5)     		tx = 2335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4168701171875 × 212)
    floor (0.4168701171875 × 4096)
    floor (1707.5)     		ty = 1707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2335 / 1707 ti = "12/2335/1707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2335/1707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2335 ÷ 212
    2335 ÷ 4096     		x = 0.570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1707 ÷ 212
    1707 ÷ 4096     		y = 0.416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570068359375 × 2 - 1) × π
    0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416748046875 × 2 - 1) × π
    0.16650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.523087448654053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44025249} λ = 0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523087448654053))-π/2
    2×atan(1.68722884878796)-π/2
    2×1.03577077284025-π/2
    2.07154154568049-1.57079632675     		φ = 0.50074522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50074522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.690588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2335 KachelY 1707 0.44025249 0.50074522 25.224610 28.690588
    Oben rechts KachelX + 1 2336 KachelY 1707 0.44178647 0.50074522 25.312500 28.690588
    Unten links KachelX 2335 KachelY + 1 1708 0.44025249 0.49939908 25.224610 28.613460
    Unten rechts KachelX + 1 2336 KachelY + 1 1708 0.44178647 0.49939908 25.312500 28.613460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50074522-0.49939908) × R
    0.00134614 × 6371000     		dl = 8576.25793999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50074522-0.49939908) × R
    0.00134614 × 6371000     		dr = 8576.25793999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44025249-0.44178647) × cos(0.50074522) × R
    0.00153397999999999 × 0.877225040739587 × 6371000     		do = 8573.10855078788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44025249-0.44178647) × cos(0.49939908) × R
    0.00153397999999999 × 0.877870499818039 × 6371000     		du = 8579.41661369953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50074522)-sin(0.49939908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877225040739587-0.877870499818039)×R²
    abs(0.44178647-0.44025249)×0.000645459078451704×R²
    0.00153397999999999×0.000645459078451704×6371000²
    0.00153397999999999×0.000645459078451704×40589641000000     		ar = 73552251.1734489m²