Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2335 / 1679
↖ ↑ ↗
← N 30.826781°
E 25.224610°		 ← 8 392.26 m → N 30.826781°
E 25.312500°		 →
↑
8 395.51 m
↓
↑
8 395.51 m
↓
N 30.751278°
E 25.224610°		 ← 8 398.86 m →
70 485 038 m²		 N 30.751278°
E 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5701904296875 y=0.4100341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5701904296875 × 212)
    floor (0.5701904296875 × 4096)
    floor (2335.5)     		tx = 2335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4100341796875 × 212)
    floor (0.4100341796875 × 4096)
    floor (1679.5)     		ty = 1679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2335 / 1679 ti = "12/2335/1679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2335/1679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2335 ÷ 212
    2335 ÷ 4096     		x = 0.570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1679 ÷ 212
    1679 ÷ 4096     		y = 0.409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570068359375 × 2 - 1) × π
    0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409912109375 × 2 - 1) × π
    0.18017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.566038910713623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44025249} λ = 0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.566038910713623))-π/2
    2×atan(1.76127664171945)-π/2
    2×1.05441257568016-π/2
    2.10882515136033-1.57079632675     		φ = 0.53802882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53802882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.826781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2335 KachelY 1679 0.44025249 0.53802882 25.224610 30.826781
    Oben rechts KachelX + 1 2336 KachelY 1679 0.44178647 0.53802882 25.312500 30.826781
    Unten links KachelX 2335 KachelY + 1 1680 0.44025249 0.53671105 25.224610 30.751278
    Unten rechts KachelX + 1 2336 KachelY + 1 1680 0.44178647 0.53671105 25.312500 30.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53802882-0.53671105) × R
    0.00131777 × 6371000     		dl = 8395.51266999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53802882-0.53671105) × R
    0.00131777 × 6371000     		dr = 8395.51266999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44025249-0.44178647) × cos(0.53802882) × R
    0.00153397999999999 × 0.858720468956848 × 6371000     		do = 8392.26361908653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44025249-0.44178647) × cos(0.53671105) × R
    0.00153397999999999 × 0.859395006889381 × 6371000     		du = 8398.85586924888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53802882)-sin(0.53671105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858720468956848-0.859395006889381)×R²
    abs(0.44178647-0.44025249)×0.000674537932532804×R²
    0.00153397999999999×0.000674537932532804×6371000²
    0.00153397999999999×0.000674537932532804×40589641000000     		ar = 70485038.4037842m²