Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23333 / 27431
↖ ↑ ↗
← N 28.115594°
W 51.828003°		 ← 538.77 m → N 28.115594°
W 51.822510°		 →
↑
538.73 m
↓
↑
538.73 m
↓
N 28.110749°
W 51.828003°		 ← 538.79 m →
290 259 m²		 N 28.110749°
W 51.822510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.356040954589844 y=0.418571472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.356040954589844 × 216)
    floor (0.356040954589844 × 65536)
    floor (23333.5)     		tx = 23333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418571472167969 × 216)
    floor (0.418571472167969 × 65536)
    floor (27431.5)     		ty = 27431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23333 / 27431 ti = "16/23333/27431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23333/27431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23333 ÷ 216
    23333 ÷ 65536     		x = 0.356033325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27431 ÷ 216
    27431 ÷ 65536     		y = 0.418563842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.356033325195312 × 2 - 1) × π
    -0.287933349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.90456930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418563842773438 × 2 - 1) × π
    0.162872314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.511678466544479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90456930} λ = -0.90456930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511678466544479))-π/2
    2×atan(1.66808867758716)-π/2
    2×1.03075300516339-π/2
    2.06150601032679-1.57079632675     		φ = 0.49070968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90456930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.828003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49070968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.115594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23333 KachelY 27431 -0.90456930 0.49070968 -51.828003 28.115594
    Oben rechts KachelX + 1 23334 KachelY 27431 -0.90447342 0.49070968 -51.822510 28.115594
    Unten links KachelX 23333 KachelY + 1 27432 -0.90456930 0.49062512 -51.828003 28.110749
    Unten rechts KachelX + 1 23334 KachelY + 1 27432 -0.90447342 0.49062512 -51.822510 28.110749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49070968-0.49062512) × R
    8.45599999999558e-05 × 6371000     		dl = 538.731759999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49070968-0.49062512) × R
    8.45599999999558e-05 × 6371000     		dr = 538.731759999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90456930--0.90447342) × cos(0.49070968) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.881998642666273 × 6371000     		do = 538.770176230955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90456930--0.90447342) × cos(0.49062512) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.882038488577257 × 6371000     		du = 538.794516164651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49070968)-sin(0.49062512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881998642666273-0.882038488577257)×R²
    abs(-0.90447342--0.90456930)×3.98459109834937e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.98459109834937e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.98459109834937e-05×40589641000000     		ar = 290259.16179685m²