Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2333 / 1708
↖ ↑ ↗
← N 28.613460°
E 25.048828°		 ← 8 579.47 m → N 28.613460°
E 25.136719°		 →
↑
8 582.57 m
↓
↑
8 582.57 m
↓
N 28.536275°
E 25.048828°		 ← 8 585.77 m →
73 660 917 m²		 N 28.536275°
E 25.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5697021484375 y=0.4171142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5697021484375 × 212)
    floor (0.5697021484375 × 4096)
    floor (2333.5)     		tx = 2333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4171142578125 × 212)
    floor (0.4171142578125 × 4096)
    floor (1708.5)     		ty = 1708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2333 / 1708 ti = "12/2333/1708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2333/1708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2333 ÷ 212
    2333 ÷ 4096     		x = 0.569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1708 ÷ 212
    1708 ÷ 4096     		y = 0.4169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569580078125 × 2 - 1) × π
    0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4169921875 × 2 - 1) × π
    0.166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43718452} λ = 0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.521553467866211))-π/2
    2×atan(1.6846426562412)-π/2
    2×1.03509770205824-π/2
    2.07019540411649-1.57079632675     		φ = 0.49939908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49939908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.613460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2333 KachelY 1708 0.43718452 0.49939908 25.048828 28.613460
    Oben rechts KachelX + 1 2334 KachelY 1708 0.43871851 0.49939908 25.136719 28.613460
    Unten links KachelX 2333 KachelY + 1 1709 0.43718452 0.49805195 25.048828 28.536275
    Unten rechts KachelX + 1 2334 KachelY + 1 1709 0.43871851 0.49805195 25.136719 28.536275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49939908-0.49805195) × R
    0.00134712999999997 × 6371000     		dl = 8582.56522999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49939908-0.49805195) × R
    0.00134712999999997 × 6371000     		dr = 8582.56522999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43718452-0.43871851) × cos(0.49939908) × R
    0.00153398999999999 × 0.877870499818039 × 6371000     		do = 8579.47254282904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43718452-0.43871851) × cos(0.49805195) × R
    0.00153398999999999 × 0.878514841052166 × 6371000     		du = 8585.76972211409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49939908)-sin(0.49805195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877870499818039-0.878514841052166)×R²
    abs(0.43871851-0.43718452)×0.00064434123412771×R²
    0.00153398999999999×0.00064434123412771×6371000²
    0.00153398999999999×0.00064434123412771×40589641000000     		ar = 73660916.8535503m²