Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23329 / 12448
↖ ↑ ↗
← N 81.024916°
W115.924988°		 ← 47.64 m → N 81.024916°
W115.922241°		 →
↑
47.66 m
↓
↑
47.66 m
↓
N 81.024487°
W115.924988°		 ← 47.64 m →
2 270 m²		 N 81.024487°
W115.922241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.177989959716797 y=0.0949745178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.177989959716797 × 217)
    floor (0.177989959716797 × 131072)
    floor (23329.5)     		tx = 23329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0949745178222656 × 217)
    floor (0.0949745178222656 × 131072)
    floor (12448.5)     		ty = 12448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23329 / 12448 ti = "17/23329/12448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23329/12448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23329 ÷ 217
    23329 ÷ 131072     		x = 0.177986145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12448 ÷ 217
    12448 ÷ 131072     		y = 0.094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.177986145019531 × 2 - 1) × π
    -0.644027709960938 × 3.1415926535     		Λ = -2.02327272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094970703125 × 2 - 1) × π
    0.81005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54487412702954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02327272} λ = -2.02327272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54487412702954))-π/2
    2×atan(12.7416241590407)-π/2
    2×1.49247394400712-π/2
    2.98494788801423-1.57079632675     		φ = 1.41415156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02327272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.924988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41415156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.024916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23329 KachelY 12448 -2.02327272 1.41415156 -115.924988 81.024916
    Oben rechts KachelX + 1 23330 KachelY 12448 -2.02322479 1.41415156 -115.922241 81.024916
    Unten links KachelX 23329 KachelY + 1 12449 -2.02327272 1.41414408 -115.924988 81.024487
    Unten rechts KachelX + 1 23330 KachelY + 1 12449 -2.02322479 1.41414408 -115.922241 81.024487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41415156-1.41414408) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dl = 47.6550800003801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41415156-1.41414408) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dr = 47.6550800003801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02327272--2.02322479) × cos(1.41415156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156004938298302 × 6371000     		do = 47.6379846488235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02327272--2.02322479) × cos(1.41414408) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156012326710877 × 6371000     		du = 47.6402407894857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41415156)-sin(1.41414408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156004938298302-0.156012326710877)×R²
    abs(-2.02322479--2.02327272)×7.38841257433287e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.38841257433287e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.38841257433287e-06×40589641000000     		ar = 2270.24572766418m²