Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2332 / 1764
↖ ↑ ↗
← N 24.206890°
E 24.960937°		 ← 8 913.66 m → N 24.206890°
E 25.048828°		 →
↑
8 916.47 m
↓
↑
8 916.47 m
↓
N 24.126702°
E 24.960937°		 ← 8 919.26 m →
79 503 316 m²		 N 24.126702°
E 25.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5694580078125 y=0.4307861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5694580078125 × 212)
    floor (0.5694580078125 × 4096)
    floor (2332.5)     		tx = 2332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4307861328125 × 212)
    floor (0.4307861328125 × 4096)
    floor (1764.5)     		ty = 1764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2332 / 1764 ti = "12/2332/1764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2332/1764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2332 ÷ 212
    2332 ÷ 4096     		x = 0.5693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1764 ÷ 212
    1764 ÷ 4096     		y = 0.4306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5693359375 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.43565054374707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43565054} λ = 0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43565054374707))-π/2
    2×atan(1.54596845199942)-π/2
    2×0.996643126180616-π/2
    1.99328625236123-1.57079632675     		φ = 0.42248993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42248993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.206890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2332 KachelY 1764 0.43565054 0.42248993 24.960937 24.206890
    Oben rechts KachelX + 1 2333 KachelY 1764 0.43718452 0.42248993 25.048828 24.206890
    Unten links KachelX 2332 KachelY + 1 1765 0.43565054 0.42109039 24.960937 24.126702
    Unten rechts KachelX + 1 2333 KachelY + 1 1765 0.43718452 0.42109039 25.048828 24.126702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42248993-0.42109039) × R
    0.00139954000000003 × 6371000     		dl = 8916.46934000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42248993-0.42109039) × R
    0.00139954000000003 × 6371000     		dr = 8916.46934000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43565054-0.43718452) × cos(0.42248993) × R
    0.00153398000000005 × 0.91207081591576 × 6371000     		do = 8913.65584395464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43565054-0.43718452) × cos(0.42109039) × R
    0.00153398000000005 × 0.912643779671347 × 6371000     		du = 8919.25541104881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42248993)-sin(0.42109039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91207081591576-0.912643779671347)×R²
    abs(0.43718452-0.43565054)×0.00057296375558713×R²
    0.00153398000000005×0.00057296375558713×6371000²
    0.00153398000000005×0.00057296375558713×40589641000000     		ar = 79503316.2010995m²