Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23315 / 11531
↖ ↑ ↗
← N 81.409422°
W115.963440°		 ← 45.62 m → N 81.409422°
W115.960693°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
N 81.409011°
W115.963440°		 ← 45.62 m →
2 081 m²		 N 81.409011°
W115.960693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.177883148193359 y=0.0879783630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.177883148193359 × 217)
    floor (0.177883148193359 × 131072)
    floor (23315.5)     		tx = 23315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0879783630371094 × 217)
    floor (0.0879783630371094 × 131072)
    floor (11531.5)     		ty = 11531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23315 / 11531 ti = "17/23315/11531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23315/11531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23315 ÷ 217
    23315 ÷ 131072     		x = 0.177879333496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11531 ÷ 217
    11531 ÷ 131072     		y = 0.0879745483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.177879333496094 × 2 - 1) × π
    -0.644241333007812 × 3.1415926535     		Λ = -2.02394384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0879745483398438 × 2 - 1) × π
    0.824050903320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.58883226398113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02394384} λ = -2.02394384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58883226398113))-π/2
    2×atan(13.3142150335226)-π/2
    2×1.49582938748266-π/2
    2.99165877496533-1.57079632675     		φ = 1.42086245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02394384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.963440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42086245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.409422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23315 KachelY 11531 -2.02394384 1.42086245 -115.963440 81.409422
    Oben rechts KachelX + 1 23316 KachelY 11531 -2.02389590 1.42086245 -115.960693 81.409422
    Unten links KachelX 23315 KachelY + 1 11532 -2.02394384 1.42085529 -115.963440 81.409011
    Unten rechts KachelX + 1 23316 KachelY + 1 11532 -2.02389590 1.42085529 -115.960693 81.409011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42086245-1.42085529) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dl = 45.6163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42086245-1.42085529) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dr = 45.6163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02394384--2.02389590) × cos(1.42086245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149372751434168 × 6371000     		do = 45.6222831425868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02394384--2.02389590) × cos(1.42085529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149379831101992 × 6371000     		du = 45.6244454553709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42086245)-sin(1.42085529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149372751434168-0.149379831101992)×R²
    abs(-2.02389590--2.02394384)×7.07966782395597e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07966782395597e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07966782395597e-06×40589641000000     		ar = 2081.17181031604m²