Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2331 / 1772
↖ ↑ ↗
← N 23.563987°
E 24.873047°		 ← 8 958.06 m → N 23.563987°
E 24.960937°		 →
↑
8 960.81 m
↓
↑
8 960.81 m
↓
N 23.483401°
E 24.873047°		 ← 8 963.54 m →
80 296 064 m²		 N 23.483401°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5692138671875 y=0.4327392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5692138671875 × 212)
    floor (0.5692138671875 × 4096)
    floor (2331.5)     		tx = 2331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4327392578125 × 212)
    floor (0.4327392578125 × 4096)
    floor (1772.5)     		ty = 1772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2331 / 1772 ti = "12/2331/1772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2331/1772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2331 ÷ 212
    2331 ÷ 4096     		x = 0.569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1772 ÷ 212
    1772 ÷ 4096     		y = 0.4326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569091796875 × 2 - 1) × π
    0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.423378697444336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43411656} λ = 0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423378697444336))-π/2
    2×atan(1.52711250007833)-π/2
    2×0.991032743536421-π/2
    1.98206548707284-1.57079632675     		φ = 0.41126916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41126916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.563987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2331 KachelY 1772 0.43411656 0.41126916 24.873047 23.563987
    Oben rechts KachelX + 1 2332 KachelY 1772 0.43565054 0.41126916 24.960937 23.563987
    Unten links KachelX 2331 KachelY + 1 1773 0.43411656 0.40986266 24.873047 23.483401
    Unten rechts KachelX + 1 2332 KachelY + 1 1773 0.43565054 0.40986266 24.960937 23.483401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41126916-0.40986266) × R
    0.00140650000000003 × 6371000     		dl = 8960.81150000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41126916-0.40986266) × R
    0.00140650000000003 × 6371000     		dr = 8960.81150000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43411656-0.43565054) × cos(0.41126916) × R
    0.00153397999999999 × 0.916614185303787 × 6371000     		do = 8958.05813201149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43411656-0.43565054) × cos(0.40986266) × R
    0.00153397999999999 × 0.917175559172046 × 6371000     		du = 8963.54443129234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41126916)-sin(0.40986266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916614185303787-0.917175559172046)×R²
    abs(0.43565054-0.43411656)×0.000561373868258386×R²
    0.00153397999999999×0.000561373868258386×6371000²
    0.00153397999999999×0.000561373868258386×40589641000000     		ar = 80296064.4109307m²