Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2331 / 1725
↖ ↑ ↗
← N 27.293689°
E 24.873047°		 ← 8 684.94 m → N 27.293689°
E 24.960937°		 →
↑
8 688.01 m
↓
↑
8 688.01 m
↓
N 27.215556°
E 24.873047°		 ← 8 691.04 m →
75 481 311 m²		 N 27.215556°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5692138671875 y=0.4212646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5692138671875 × 212)
    floor (0.5692138671875 × 4096)
    floor (2331.5)     		tx = 2331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4212646484375 × 212)
    floor (0.4212646484375 × 4096)
    floor (1725.5)     		ty = 1725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2331 / 1725 ti = "12/2331/1725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2331/1725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2331 ÷ 212
    2331 ÷ 4096     		x = 0.569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1725 ÷ 212
    1725 ÷ 4096     		y = 0.421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569091796875 × 2 - 1) × π
    0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421142578125 × 2 - 1) × π
    0.15771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.4954757944729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43411656} λ = 0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4954757944729))-π/2
    2×atan(1.64127896476975)-π/2
    2×1.02358053438604-π/2
    2.04716106877208-1.57079632675     		φ = 0.47636474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47636474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.293689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2331 KachelY 1725 0.43411656 0.47636474 24.873047 27.293689
    Oben rechts KachelX + 1 2332 KachelY 1725 0.43565054 0.47636474 24.960937 27.293689
    Unten links KachelX 2331 KachelY + 1 1726 0.43411656 0.47500106 24.873047 27.215556
    Unten rechts KachelX + 1 2332 KachelY + 1 1726 0.43565054 0.47500106 24.960937 27.215556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47636474-0.47500106) × R
    0.00136368000000003 × 6371000     		dl = 8688.00528000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47636474-0.47500106) × R
    0.00136368000000003 × 6371000     		dr = 8688.00528000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43411656-0.43565054) × cos(0.47636474) × R
    0.00153397999999999 × 0.888667745584006 × 6371000     		do = 8684.93795167129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43411656-0.43565054) × cos(0.47500106) × R
    0.00153397999999999 × 0.889292236843915 × 6371000     		du = 8691.0410963737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47636474)-sin(0.47500106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888667745584006-0.889292236843915)×R²
    abs(0.43565054-0.43411656)×0.000624491259908933×R²
    0.00153397999999999×0.000624491259908933×6371000²
    0.00153397999999999×0.000624491259908933×40589641000000     		ar = 75481310.5545278m²