Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23301 / 41731
↖ ↑ ↗
← S 44.099421°
W 52.003784°		 ← 438.67 m → S 44.099421°
W 51.998291°		 →
↑
438.64 m
↓
↑
438.64 m
↓
S 44.103366°
W 52.003784°		 ← 438.64 m →
192 414 m²		 S 44.103366°
W 51.998291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355552673339844 y=0.636772155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355552673339844 × 216)
    floor (0.355552673339844 × 65536)
    floor (23301.5)     		tx = 23301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636772155761719 × 216)
    floor (0.636772155761719 × 65536)
    floor (41731.5)     		ty = 41731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23301 / 41731 ti = "16/23301/41731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23301/41731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23301 ÷ 216
    23301 ÷ 65536     		x = 0.355545043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41731 ÷ 216
    41731 ÷ 65536     		y = 0.636764526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355545043945312 × 2 - 1) × π
    -0.288909912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.90763726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636764526367188 × 2 - 1) × π
    -0.273529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.859316862589127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90763726} λ = -0.90763726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859316862589127))-π/2
    2×atan(0.423451258929478)-π/2
    2×0.400558118816095-π/2
    0.801116237632191-1.57079632675     		φ = -0.76968009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90763726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.003784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76968009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.099421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23301 KachelY 41731 -0.90763726 -0.76968009 -52.003784 -44.099421
    Oben rechts KachelX + 1 23302 KachelY 41731 -0.90754138 -0.76968009 -51.998291 -44.099421
    Unten links KachelX 23301 KachelY + 1 41732 -0.90763726 -0.76974894 -52.003784 -44.103366
    Unten rechts KachelX + 1 23302 KachelY + 1 41732 -0.90754138 -0.76974894 -51.998291 -44.103366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76968009--0.76974894) × R
    6.88500000000092e-05 × 6371000     		dl = 438.643350000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76968009--0.76974894) × R
    6.88500000000092e-05 × 6371000     		dr = 438.643350000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90763726--0.90754138) × cos(-0.76968009) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.718133333494981 × 6371000     		do = 438.672809602963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90763726--0.90754138) × cos(-0.76974894) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.718085418696759 × 6371000     		du = 438.643540777555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76968009)-sin(-0.76974894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718133333494981-0.718085418696759)×R²
    abs(-0.90754138--0.90763726)×4.79147982218597e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79147982218597e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79147982218597e-05×40589641000000     		ar = 192414.491546492m²