Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2330 / 2850
↖ ↑ ↗
← S 57.421295°
E 24.785156°		 ← 5 262.34 m → S 57.421295°
E 24.873047°		 →
↑
5 258.94 m
↓
↑
5 258.94 m
↓
S 57.468589°
E 24.785156°		 ← 5 255.54 m →
27 656 459 m²		 S 57.468589°
E 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5689697265625 y=0.6959228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5689697265625 × 212)
    floor (0.5689697265625 × 4096)
    floor (2330.5)     		tx = 2330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6959228515625 × 212)
    floor (0.6959228515625 × 4096)
    floor (2850.5)     		ty = 2850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2330 / 2850 ti = "12/2330/2850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2330/2850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2330 ÷ 212
    2330 ÷ 4096     		x = 0.56884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2850 ÷ 212
    2850 ÷ 4096     		y = 0.69580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56884765625 × 2 - 1) × π
    0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69580078125 × 2 - 1) × π
    -0.3916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.23025259184912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43258258} λ = 0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.23025259184912))-π/2
    2×atan(0.292218756281913)-π/2
    2×0.284302839457417-π/2
    0.568605678914833-1.57079632675     		φ = -1.00219065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00219065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.421295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2330 KachelY 2850 0.43258258 -1.00219065 24.785156 -57.421295
    Oben rechts KachelX + 1 2331 KachelY 2850 0.43411656 -1.00219065 24.873047 -57.421295
    Unten links KachelX 2330 KachelY + 1 2851 0.43258258 -1.00301610 24.785156 -57.468589
    Unten rechts KachelX + 1 2331 KachelY + 1 2851 0.43411656 -1.00301610 24.873047 -57.468589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00219065--1.00301610) × R
    0.000825450000000005 × 6371000     		dl = 5258.94195000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00219065--1.00301610) × R
    0.000825450000000005 × 6371000     		dr = 5258.94195000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43258258-0.43411656) × cos(-1.00219065) × R
    0.00153397999999999 × 0.538457642488981 × 6371000     		do = 5262.33931394321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43258258-0.43411656) × cos(-1.00301610) × R
    0.00153397999999999 × 0.53776189155363 × 6371000     		du = 5255.53974938901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00219065)-sin(-1.00301610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538457642488981-0.53776189155363)×R²
    abs(0.43411656-0.43258258)×0.000695750935350792×R²
    0.00153397999999999×0.000695750935350792×6371000²
    0.00153397999999999×0.000695750935350792×40589641000000     		ar = 27656459.2859395m²