Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2330 / 1682
↖ ↑ ↗
← N 30.600094°
E 24.785156°		 ← 8 412.01 m → N 30.600094°
E 24.873047°		 →
↑
8 415.33 m
↓
↑
8 415.33 m
↓
N 30.524413°
E 24.785156°		 ← 8 418.58 m →
70 817 457 m²		 N 30.524413°
E 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5689697265625 y=0.4107666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5689697265625 × 212)
    floor (0.5689697265625 × 4096)
    floor (2330.5)     		tx = 2330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4107666015625 × 212)
    floor (0.4107666015625 × 4096)
    floor (1682.5)     		ty = 1682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2330 / 1682 ti = "12/2330/1682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2330/1682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2330 ÷ 212
    2330 ÷ 4096     		x = 0.56884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1682 ÷ 212
    1682 ÷ 4096     		y = 0.41064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56884765625 × 2 - 1) × π
    0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    0.1787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.561436968350098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43258258} λ = 0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.561436968350098))-π/2
    2×atan(1.75318996959908)-π/2
    2×1.05243435814694-π/2
    2.10486871629388-1.57079632675     		φ = 0.53407239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53407239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.600094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2330 KachelY 1682 0.43258258 0.53407239 24.785156 30.600094
    Oben rechts KachelX + 1 2331 KachelY 1682 0.43411656 0.53407239 24.873047 30.600094
    Unten links KachelX 2330 KachelY + 1 1683 0.43258258 0.53275151 24.785156 30.524413
    Unten rechts KachelX + 1 2331 KachelY + 1 1683 0.43411656 0.53275151 24.873047 30.524413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53407239-0.53275151) × R
    0.00132087999999997 × 6371000     		dl = 8415.3264799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53407239-0.53275151) × R
    0.00132087999999997 × 6371000     		dr = 8415.3264799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43258258-0.43411656) × cos(0.53407239) × R
    0.00153397999999999 × 0.860741192740037 × 6371000     		do = 8412.01212550152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43258258-0.43411656) × cos(0.53275151) × R
    0.00153397999999999 × 0.861412826155277 × 6371000     		du = 8418.57598985534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53407239)-sin(0.53275151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860741192740037-0.861412826155277)×R²
    abs(0.43411656-0.43258258)×0.000671633415240569×R²
    0.00153397999999999×0.000671633415240569×6371000²
    0.00153397999999999×0.000671633415240569×40589641000000     		ar = 70817457.2169773m²